238 



På grund af en af Gauss uppstäld sats om ytors böj- 

 ning, fann Mina ing åren 1839 och 1840 att det ges endast 

 tre slag af ytor, som kunna förskjutas i sig sjelfva på alla 

 möjliga sätt, nämligen: 



1) Planet och de så kallade developpabla ytorna, bland 

 hvilka könen och cylindern äro de enklaste. 



• 2) Ytan af en sfer och alla de ytor, som utan sam- 

 manpressning eller uttöjning kunna böjas på sferen, de s. k. 

 ytorna med konstant positivt krökningsmått. 



3) Den s. k. pseudosferen, en yta, som närmast har 

 formeln af en pokal, och de ytor, som kunna böjas på den- 

 samma. 



Tänker man sig t. ex. pä en konisk yta en figur uppri- 

 tad, så kan man genom att utbreda ytan på ett plan få den 

 gifna figuren att öfvergä i en plan figur, som är kongruent 

 med den gifna. Likaså kan en gifven plan figur uppvecklas 

 på koniska ytan utan att förändra sin storlek. Räta linierna 

 i planet öfvergå vid denna uppveckling i s. k. kortaste eller 

 geodetiska linier pä ytan. 



Om således en yta kan utbredas på ett plan, så gäller 

 pä denna yta samma geometri som för planet. I stället för 

 räta linierna i planet ha vi att införa de geodetiska linierna 

 på ytan. Så blir t. ex. ytinnehållet af en af tre geodetiska 

 linier bildad triangel lika med basen gånger höjden genom 

 två, om vi i planet förutsätta den Euclidiska geometrin. 

 Summan af vinklarne i en dylik triangel är lika med två 

 räta o. s. v. 



Öfvergå vi nu till det andra slaget af ytor, så är det 

 ej mer så lätt att föreställa sig desamma. Att ytan af en 

 sfer kan förskjutas i sig sjelf är ett sakförhållande, som hvar 

 och en lätt kan föreställa sig. En åskådning af ytor, som 

 ej äro sferiska, men likväl utan att sammanpressas eller 

 uttöjas kunna böjas på en sfer erhåller man genom att ifrån 

 en sferisk yta, t. ex. en gummiboll, utskära ett zoniskt bälte 

 längs tvänne parallelcirklar och uppskära detta bälte längs 

 en meridian till sferen. Detta bälte låter öppna sig till en 

 viss grad eller ock kan man rulla ihop det, så att man får 



