240 



af honom uppstälda formlerna ej någon betydelse i det van- 

 liga planet. Hans imaginära geometri gäller derföre, säger 

 han, för ett plan som är allmännare än det Euclidiska pla- 

 net. Den Euclidiska geometrin är endast ett specialt fall af 

 den allmännare imaginära geometrin och framgår ur denna 

 senare om man betraktar endast kortare linier. Sedan det 

 är 1868 lyckades den Italienske matematikern Baltrami att 

 ansluta Lobatse/ieffski/s och Mutdiiic/s undersökningar till 

 hvarandra, så att han kunde uttala satsen, att geometrin pä 

 de ytor, som låta böja sig på pseudosferen, är identisk med 

 den Lobatscheffsky'ska eller hyperboliska geometrin, så se 

 vi, att den allmännare yta, som löresväfvade Lobatschejfsky 

 och för hvilken hans formler erhålla en real betydelse, just 

 är den af honom ännu ej kända pseudosferen. Tänker man 

 sig en pseudosfer med mycket litet krökningsmått, så kan 

 en mindre del af densamma betraktas som ett plan och för 

 denna del ge de formler, som gälla för den hyperboliska 

 geometrin, ett resultat, som icke märkbart afviker ifrån det, 

 som erhålles med tillhjelp af de vanliga Euclidiska formlerna. 

 Det återstår mig att nämna några ord om den all- 

 männa rymdgeometrin och de af densamma beroende upp- 

 fattningarna om rymden. Jag vågar ej hoppas att på den 

 korta stund, som ännu står mig till buds, kunna klargöra 

 grundtanken i den geniala afhandling, som blifvit skrifven 

 öfver detta ämne af Riemann, men vill dock beröra några 

 punkter af densamma. I af handlingen, som bär titeln ,, öfver 

 de hypoteser, som ligga till grund för geometrin" utgår Rie- 

 mann ifrån att betrakta en s. k. n-dimensional mångfald, 

 vi kunna säga en n-dimensional rymd, af hvilken den tre 

 dimensionala mångfalden eller rymden är ett specielt fall, 

 för n = 3, som åter i sig omfattar vår vanliga, så att säga 

 Euclidiska rymd. Allmännare kan man ju ej tänka sig ut- 

 gångspunkten för en geometrisk undersökning vald. Det 

 egendomliga i Riemanns undersökning är att han, genom 

 att betrakta s. k. geodetiska eller kortaste linier, definierade 

 genom analytiska uttryck, tilldelar hela rymden ett kröknings- 

 mått, hvilket måste vara konstant, om rymden skall kunna 



