In meiner Inaugural-Dissertation (Göttingen 1920) habe ich den Satz 

 von Thue über die Annäherung an algebraische Zahlen durch rationale 

 verschärft und andererseits die Untersuchung auf Approximation durch 

 beliebige algebraische (anstatt rationale) Zahlen ausgedehnt. Diese Verall- 

 gemeinerung auf beliebige Zahlkörper erfordert jedoch längere Hilfsbetrach- 

 tungen, welche beim Körper der rationalen Zahlen wegfallen: daher möchte 

 ich hier den kürzeren Beweis für letzteren Fall ausführen. 



Meine \'erschärfung des Thueschen Satzes lautet: 



Für jede reelle ganze algebraische Zahl 5 vom Grade ?? > 2 hat die 

 Ungleichung ^ 



nur endlich viele Lösungen in ganzen rationalen Zahlen x, ij (// ::-■ 0). 

 Dem Beweis gehen drei Hilfssätze voraus: 



Hilfssatz I. 



Es sei 5 eine reelle ganze algebraische Zahl des Grades v^2; es 

 seien r und >• zwei natürliche Zahlen, und zwar s f^ )) — 1 ; es sei < ^<; 1. 

 Dann gibt es 



i) zwei von 5, r, s', ,'> abhängige Polynome F (t, ij] und d [.r, ij) von 

 den Graden - 



(I) 



Ib 



^ Ich werde den Satz sogar für den Exponenten min f. — ,H~ ^" I "*" ^ 



(anstatt 2\)i) mit beliebigem festen ö ;> beweisen; — diese Zahl ist 

 ^ ^4 72 _j_ 1 — 1 -j- ß^ also < 2 y'/< für hinreichend kleines H, und kleiner 



als der Thuesche Exponent — -|- 1 -|- ö für // ^' ~. 



2 Grad bedeutet bei Polynomen nicht den »genauen« Grad. Für reelles ./• 

 bedeutet [a] die gröfste ganze rationale Zahl ^i'- Die durch (1) er- 

 klärte ganze rationale Zahl m ist ^ 0. 



