8 CAKI. SIEGEL. M.-N. Kl. 



WO fJaiiJ) ein rationalzaliliges Polynom .s'^-n Grades in // bedeutet, das 

 nicht identisch verschwindet. Wegen der hnearen Unabhängigkeit' der 

 /Ij(-'') ist ferner _/(./') nicht identisch 0. Nach (2) und (17) gilt 



S(«) (!"■ 



Die Unterdeterminante von jy {■>') in _/(.') nenne ich Jj-i'j', dann folgt 



(18) j (,r) f/, (,^) 2 -^« (■'■) f' i(-^^- bT ^'^-z', i);. 



« = ^^'^^ 



L^ü (//) ist vom Grade i<<in, und daher ist U^iî) -^ 0. Nach (18) ist 

 z/ (./■) teilbar durch (.'" — 5)'^""''; hierbei ist der Exponent r — .s-' ^0 nach (14). 

 Bedeutet rp (./') -^ (» die irreducible Gleichung >/'fn Grades für |, so ist das 

 rationalzahlige Polynom J (■r) teilbar durch (p{.i)*'~^^ : 



(19) J (.'■) U, {^) --- rp Uy-'' D (.r), 



wo I) {.!') nicht identisch ist. Die Elemente der .s' -)- 1 -reihigen Deter- 

 minante J (./•) sind vom Grade <^ nt -f r; der Grad von J (./■) ist also 

 ^ (.<>■' -j- I )(;/< -t- r). Bedeutet lï den wahren Grad von IM:''), ^o ist nach dg) 



Ô ^ (.^■' + 1 ) (m 4- ^) — // (>•—«') ^ (■'< ■+ t ) im + >■) - II {r—s). 



Nach Voraussetzung ist tp {rj) :^ 0; das Polynom J (■'') verschwindet 

 also für x ^^ rj höchstens von der Ordnung ô. Daher gibt es in der Reihe 

 0, !,...()' eine Zahl y, so daf? J^'^' {>]) 4^ ist, und für dieses ;' gilt nach (i) 



r<à^{s-\- 1) "^™ ;•— nr + "■'? ^ ^r + n (» — ]). 

 s -\- i 



^ Besteht zwischen mehreren rationalzahligen Polynomen j)^ (./■). . . . p^. (.r) 

 eine homogene lineare Gleichung mit constanten Coefficienten, so ist die 

 aus den Coefficienten von /^i (.r|, . . . 7;,, (./•) gebildete Matrix vom Range 

 <^ v; da aber ein auflösbares System linearer rationalzahliger Gleichungen 

 stets durch rationale Werte der Unbekannten befriedigt werden kann, so 

 sind dann auch die v Polynome im Körper der rationalen Zahlen linear 

 abhängig. Sind also andererseits Pi {.t'), . . . ]i^.{.r) im Körper der ratio- 

 nalen Zahlen linear unabhängig, so gilt dies auch für den Körper aller 

 Zahlen. Folglich ist dann die Wronkische Determinante der r Polynome 

 nicht identisch 0. 



