1921. No. l6. UEBER DEN THUESCHEN SATZ. 9 



Hilfssatz 3. 



Es mögen 5, m, v, )\ .", Cj, ^ die Bedeutung des Hilfssatzes i haben; für 

 r und t> seien 114) und (i^i erfüllt. Es seien -^^ und ^^ zwei reducierte 



rationale Brüche mit positiven Nennern, von denen g.^ ^ '"i' 'st. Dann gibt 

 es eine nicht negative ganze Zahl q <^ ^)' -\- u-, also nach (14I und (15) 

 <C r — I, und ein natürliches C13 ^ C13 (5, >ÎA), so dafs mindestens eine der 

 Zahlen 



( „„\ p f, r iii + r s i: Pi ' r „ ^ n **' + >" ^ s \ c ^^ 



(201 £-1 Ci3 q\ q-i , ^2 — ^13 <7i q-i i 



größer als i ist. 



Beweis: 



Das Polynom R \:i\ q] des Hilfssatzes i verschwindet für i/ = — — — 

 nicht identisch. Denn sonst würde in der Entwicklung von R[j\y) nach 

 Potenzen von ./•, 



m + r 



^ C'^, ?/) — s 5'»' (?/) ^"^ 



jedes .7,. (//) durch das primitive Polynom q.^ q — ^'0 teilbar sein. Die Coeffi- 

 cienten von (J^Aij) sind nun ganze rationale Zahlen und absolut <. Cx^\ 

 nach einem bekannten Gaufàschen Satze hätten dann auch die Polynome 



ganze rationale Coefficienten, insbesondere ginge q^ in dem Co- 



q-i y—ih 



efficienten des höchsten Gliedes jedes ^,,(//1 auf Da aber mindestens ein 

 9v iy) nicht identisch ist, so wäre dies ein Widerspruch zur Vorausset- 

 zung g., > q^. 



Nach 1171 ist also eine der Zahlen r% ( 1 4^ 0. Die Bezeichnung sei 



so gewählt, dafs dies für /!? = zutrifft. Die Auflösung der ^'-|- 1 Gleichungen 



^ "^ /?=0 



, [ P-2\ 



nach ^ l ^, I lautet 



s' 



