I92I. No. i6. 



UEBER DEN THUESCHEN SATZ. 



und nehme per absurdum an, die Ungleichung 



1 



(25) 



y 



< 



'ß 



{y > 0) 



habe unendlich viele Lösungen in ganzen rationalen j\ y. Die Constante 

 d^ des Hilfssatzes i werde durch 



(26) 



^ = 



e 



definiert; die Zahlen q und ('13 der Hilfssätze i und 3 mögen die zu die- 

 sem ^ gehörige Bedeutung haben. Dann wähle ich aus den unendlich 

 vielen Lösungen von (25) eine solche Lösung x = pi, y = q^ in teiler- 

 fremden Zahlen, welche der Bedingung 



4 

 (27) q^ > max [c^, Cis^ ) 



genügen. Hierauf nehme ich eine zweite Lösung x = j)2, 'J ^= (]■>. in teiler- 

 fremden Zahlen, so dafa 



8 «3 



(28) 



ist, und setze 



(29) 



(30) 



q-i - qi 



log q-^ 



e 



+ i 



log^i. 

 Für dieses r ist nach (28) und (29) 



8??3 



6 



+ 1 



> 



8>j3 



2 n^, 



nach (27) und {2.g) q.> > Cy': ferner ist nach (26; (> < ^- Die Vorausset- 

 zungen des Hilfssatzes 3 sind also sämtlich erfüllt; folglich ist eine der 

 beiden Zahlen E^, E.> aus (20) grofaer als 1. Für das zugehörige o gilt 

 Q<id-r -^ ii~, also nach (26) und (30) 



^ + 



n^ 



8 h 



71^6 _ e 



SJ? " In ' 



ferner ist nach (24) 





max 



setzt man also noch zur Abkürzung 

 e — 



so ist mit Rücksicht auf (26) und (27) 





log Cl3 



log qv 



1 = 2. 



£, 



>a)^|«; 



