§1. 



über Verteilungsdichten. 



Es sei K eine Klasse ganzer positiver Zahlen. Wir können durch 

 N{v) die Anzahl der Zahlen in A' bezeichnen, welche ^ 1 und ^ v sind, 

 und betrachten die Werte des Quotienten 



N[v) _ 



V 



Es wird dann oft geschehen, daß dieser Quotient sich einer Grenze g nähert, 

 wenn v ins Unendliche wächst. Dann nenne ich g die durchschnittlicJie 

 Verteihingsdichte der Zahlen der Klasse K. 



Es kann aber auch geschehen, dafe kein eindeutig bestimmter Grenz- 

 wert existiert; da indessen die Zahlen alle zwischen und 1 liegen, 



V 



müssen Häufungswerte für v = y. existieren. Ist ;- ein solcher Häufungs- 

 wert, so gibt es also eine unendliche Reihe von Werten von v, )'i <C vo •< . . -, 



so beschaffen, dafà — gegen / konvergiert, wenn r ins Unendliche wächst. 



Ich sagedann,daf3^ei«edurchschnittliche Verteilungsdichte der Zahlen in A ist'. 



Satz 1. 1st die Klasse K die Summe einer endlichen Zahl von 

 Klassen K^, K2, . . ., K^, so hat jede Teilklasse Kr nur die ^'erteilioigs- 

 dichte Null,u-eyi7i K selbst nur die YerteHungsdichteNidl hat, und umgekeJirt. 



Beweis: Die erste Behauptung des Satzes ist unmittelbar einleuchtend 

 und beruht nur darauf dafs eine Unterklasse K von K nur die \'erteilungs- 

 dichte Null haben kann, falls K selbst nur eine solche hat. Die Richtig- 

 keit der Umkehrung sieht man auch äußerst leicht so : 



Es sei iVr(j') die Anzahl der Zahlen in Ä'r und -V(j') die Anzahl der 



n 



Zahlen in K, welche ^ v sind. Es ist also iV(»') < .ZiVrd'). Dann kon- 



r=l 



vergiert nach der Voraussetzung jeder der Quotienten 



^ Statt von Verteilungsdichten zu redenj könnte man die bekannten Symbole 

 {n) und {)i) benutzen. Ich glaube aber, da6 der Begriti" der Ver- 

 teilungsdichte hier mehr anschaulich ist. 



