TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



V V V 



für unendlich wachsendes r gegen Null. Folglich konvergiert auch die Summe 



r=l V V 



gegen Null. 



Man kann dies auch so ausdrücken: Gibt es für die Klasse Ä' eine 

 Verteilungsdichte ^ 0, so gibt es eine solche auch für mindestens eine 

 der Klassen Ä'j , . . . , K^. 



Satz 2. Jd die Klasse K die Summe der )i Klassen K^, . . . Kn, 



1 



V 



nd hat K eine Yerteilunusdichle ^ — , so hat mindestens eine de) 



m 



Klassen Ä'i . . Kn eine Verteiliinqsdichte ^ 



•^ mn 



Beweis: Hat nämlich jede Klasse A'r ('' = 1,2,.., ?/) nur Verteilungs- 

 dichten < — . so mufs eine so grofae positive Zahl Vr existieren, dafà 

 — mn 



Nrjv) ^ 1 , £^ 



V mn n ' 



wenn € eine beliebig kleine positive Gröfae ist, für alle r^Vr. Esseiv^ = 

 M.ix (vi, j'o, . . î'n). So bald v ^ v^ ist, wird dann für alle r 



Nrjv) 1 . e 



V Din n' 



wodurch man erhält 



)' — r=l V m 



N{v) . 1 



Es können somit die Zahlen keine Häufungsstelle ^ — haben. 



Satz 3. Gibt es für K eine dwrdischnittliche Verteilungsdichte 



>>— , und lüird die ZaJdenreihe in Intervalle, von welchen jedes aus 

 ni 



m tit ZaJilen bestellt, eingeteilt, so gibt es in unendlich vielen dieser Inter- 

 valle mindestens f.i Zahlen aus K. 



Beweis: Im entgegengesetzen Falle müfate die Klasse K innerhalb jedes 

 Intervalles von dem [l -\~ 1)^^" an, wo / eine ganze positive Zahl ist, höchstens 

 (.1 — 1 Zahlen besitzen. Es sei / die Anzahl der Zahlen in K, welche ^ 

 m ft I sind. Weiter sei 



m u k^v <Z m it (A: +1), 

 und folglich 



N{v}<t + {u- l)(Ä--/+ 1), 



