TH. SKOLEM. M.-X. Kl. 



Die Forderung 3I bedeutet natürlich, dafi für die Klassen A" (:c, /y) Ver- 

 teilungsdichten gefunden werden können, die alle ^ sind, wobei 



nu eine ganze positive und von x und // unabhängige Zahl ist. 



So oft im folgenden eine solche Klasse K von Tripeln betrachtet wird, 

 werde ich sagen, dafi sie die Eigenschaften 1), 2) und H) haben. 



Man kann natürlich weiter gehen und entsprechende Klassen von 

 Quadrupeln usw. bilden. 



Satz 4. Es sei K eine Klasse von Faaren mit den Eigenscliaften 

 1) und i<i). Ist dann K die Summe einer endlichen Zahl von Klassen 

 A'i ...Ä'n, so Jiat mindestens einer dieser Teile eine Unterklasse mit den 

 Eigensdiaften 1) und 2). 



Beweis: Es sei x eine Zahl in k. Für jedes ;•(;•= 1,2,.. ., n) sei 

 A'r (•2") die Klasse der y, welche mit x Paare in A'r bilden. Dann zerfällt 



also li {x), welche eine Verteilungsdichte ^ hat, in die n Teile 

 A'i (.r), . . ., An (.r) und folglich mufi nach Satz 2 mindestens eine dieser Teil- 

 klassen, A rx [x), eine Verteilungsdichte >> haben. Da m von x 



m n 



unabhängig ist, so ist auch ni n von x unabhängig. Nun braucht aber 

 nicht rx dieselbe Zahl für alle x in A zu sein. Es seien deshalb Ai , k.,, 

 . . ., All die Teile von A, für welche bezw. r^ = 1, 2, . . ., >? ist. Nach Satz 1 

 mufe mindestens einer der Teile J>\ . . .kn eine nichtverschwindende Ver- 

 teilungsdichte haben. Ist A; ein solcher Teil, so hat also A*; eine Ver- 

 teilungsdichte > und für jedes x in A; die Klasse k-^ (r) eine 



Verteilungsdichte "> . 



m n 



Satz 5. Es sei K eine Klasse von Tripeln mit den Eigenschaften 

 1), 2) und S). Ist dann K die Summe einer endlichen Zahl von Klassen 

 Kl . . . , Kn, so hat mindestens eine der letzteren Klassen eine Unterklasse 

 mit den Eigenschaften 1), 2) und S). 



Beweis: Es sei Av {x, y) für jedes x und jedes y in A [x] die Klasse der z, 

 welche mit x und y zusammen Tripel in A'r bilden. Mindestens eine der 

 Klassen A^ {x, //), . , ., A^ (,r, //) hat dann nach Satz 2, eine Verteilungsdichte 



^ . Falls mehrere solche für gegebene x und ii vorhanden sind, 



m^ n o a .' 



können wir z. B. die mit dem kleinsten Index wählen; dieser durch 

 X und y eindeutig bestimmte Index heifse Tx, y. Es seien nun Aj (x), . . , 

 kxx{x) die Klassen der y für gegebenes .r in A, für welche bezw. rx, j. = 1,2 

 . . ., n ist. Mindestens eine der Klassen Aj (.r) kn {f) muß dann eine 



