I92I.N0. 17- VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 7 



Verteilungsdichte "> haben (Satz 2). Falls mehrere solche für 



gegebenes X vorhanden sind, wählen wir z. B. die mit kleinstem Index; 

 der Index sei >"x. Weiter seien /.'i . . . Äq die Teile von k\ für welche 

 bezw. rx=l, 2,.,.,)i ist. Dann hat nach Satz 1 mindestens einer dieser 

 Teile eine Verteilungsdichte ^ 0. Ist k^ diese Teilklasse, so hat also 

 kji^ eine Verteilungsdichte ^0; für jedes x in Å'; hat die Klasse ki{x) eine 



Verteilunsfsdichte ~> , und für jedes x in Ä"; und jedes >/ in Å"; (.r) hat 



die Klasse k: (.r, u) eine Verteilungsdichte j> . Der Satz ist hier- 



durch bewiesen. 



Es ist klar, dafs analoge Sätze für die entsprechenden Klassen von 

 Quadrupeln usw. aufgestellt werden können. 



§2. 



Ein Paar Hilfssätze über unendliche Reihen. 

 Es sei die Reihe 



^(^, = 21 + 2?,+ .. . 



' ' X X- 



konvergent, wenn | .x ! ^ i?. Auf dem Kreise um den Nullpunkt mit dem 

 Radius R gibt es dann notwendig Singularitäten für f {^). Es seien weiter 



'l < '"2 < '"3 < • • • < ^'>i 



positive Konstanten. Die Reihen 



n- + '■.) = ^q_-7r+ (^^+7^= + - •• 



X -\- } ■/. \X -\- )y.)' 



konvergieren dann aufserhalb Kreise mit Radius B und bezw. den Punkten 

 — )\ , — ;'2 , . . . , — r-y. als Zentra. 



Ich behaupte, daß entweder die Funktion f{x-\-ry) mindestens eine 

 Singularitlit besitzt, ivelche eine reguläre Stelle für jede der Funktionen 

 f(x),..., f{x-}-r>:.i) ist, oder f{x) eine Singularität, die eine reguläre 

 Stelle der Funktionen f [x -\- r{) ... f{x-\- r-y] ist. 



Hat f(x) eine Singularität X = 1 + '; ^ auf dem Kreise um den Null- 

 punkt mit Radius R, so beschaffen, dafs |^0 ist, so mukt eine reguläre 

 Stelle sein für die anderen Funktionen /'. Hat dagegen/" (.r) eine Singularität 



