8 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



ï, = ^ -\- r^i auf demselben Kreise, so daß |<C0 ist, so hat f{x-{-ry.} die- 

 selbe Singularität 'Ç "= ^ — ^'x -\- f] ^ auf dem Kreise um den Punkt — Vy., 

 und (^' ist dann eine reguläre Stelle der anderen Funktionen /, 



Anmerkung: Ich verstehe unter Singularität für f{x) ein Punkt, über 

 welchen die Reihe für /'(./) nicht analytisch fortsetzbar ist. Falls f{x) ein 

 Element einer mehrdeutigen Funktion ist, können ja Zweige existieren, die 

 Singularitäten aufierhalb des Kreises mit Radius /t um den Nullpunkt haben. 



Der Fall Ji ^ macht keine Ausnahme; denn dann ist a; ^=^ die ein- 

 zige Singularität für f (x\ und entsprechend x ^^ — 7\, — ^'g,... — '>'y. für 

 bezw. f(x -\- )\), . . . fix + rx). 



Sind deshalb A,..., Ay. Konstanten, wobei A und A/. -^ sind, so 

 muß die Summe 



A f{x) + A, fix + rO J^... J^A.f[x-\- Vy) 

 notwendig Singularitäten im Endlichen haben. Hieraus folgt umgekehrt: 



Satz 6. Im Falle diese Summe überall im Endlichen refjiilär ist 

 {z.B. eine Konstante, speziell identisch Nall), so muß f{x) identisch ver- 

 schrvinden, d.h. alle Koeffizienten a^, a^, ... siyid Null. 



Wir können auch in einer mehr rechnenden Weise zeigen, daß f[x) 

 identisch verschwinden mufa, falls die erwähnte Summe identisch Null ist. 

 Es sei wieder 



X^\ X x^ 



'^ x^\ X '^ X' 

 + 



Es sei ^0 = und ^ J,/(æ; -f" ''i) = identisch, wobei Jq und Ay. von 

 «■=0 



Null verschieden sind. Die Koeffizienten der Entwicklung von Z A^f [x -\-rf) 



1=0 



nach fallenden Potenzen von x werden 



— r/i • 2" A , ;•, -{- Oo' 2! A , 



~ «1 . 2" A , r,3 + 3 02 ^ J ,• r,2 — S a^ • Z A, r, + a, 2 .4 , 



In der Reihe der Zahlen 



2J., ZA,y,, 2J,r.2,... 



