lO TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Die Ebene soll längs der negativen reellen Axe aufgeschnitten gedacht 

 I 

 werden, so dafi X'i eine bestimmte der q^''^' Wurzeln von x bedeutet. Die 



Funktionen // werden dabei eindeutig. / (•/) ist augenscheinlich ein eindeutig 



bestimmtes Funktionselement einer mehrdeutigen Funktion. (Weiter soll 



fix-^- r,) für x= (I der Wert von f{x) für rc = a -f r, sein, so daß auch 



alle Funktionselemente f(x-j-r,) eindeutig bestimmt sind. 



Hat nun f {x) eine solche Singularität u =^ | -|- »; i auf dem Kreise mit 

 li um den Nullpunkt, daù 5^0 ist, so ist !.' eine reguläre Stelle für alle 

 g und alle anderen /'. Hat aber f{x) auf demselben Kreise eine singulare 

 Stelle t = ^ -{- f] i, so dafa | <C ist, so hat f{x-\- ly.) auf dem Kreise mit 

 Radius li um den Punkt — )'y. eine solche Singularität r' = I' ~h »j' ^ » 

 wobei 5' = ^ — y>c <^ — rx ist, und dann ist JT' eine reguläre Stelle für alle 

 7 und alle anderen /'. 



Im Falle M = ist f {x) eine ganze transcendente Funktion von xq 

 und dann ist, falls f(x) nicht identisch verschwindet, x = eine solche 

 singulare Stelle für f{x), dafs sie auch eine Singularität sein muß' für jede 

 lineare Kombination von /' mit den Funktionen //. Zugleich ist ^' = 

 regulär für die anderen /. 



Man hat also: 



Satz 7. Sind A^ . . ., Ay. von Null versclnedene Konstanten, muß 

 die Summe 



A fix) + A, [fix + r,) + f/, (,r)) + . . . + J, (/" [x + r.) A-[h [x]) , 

 notwendig Singuläritcten im Endlichen haben, falk nicht f{x) und aucJt 

 alle Funktionen g identiscJi verschuinden. 



S 3- 



Funktionen einer Variabein x, welche ganzzahlige Werte haben für 

 unendlich viele ganze Werte von x. 



Satz 8. Ist a; = CO entiveder eine reguläre Stelle oder ein Pol für 

 die eindeutige analytische Funktion f{x), und im letzteren Falle die 

 Koeffizienten des zugehörigen Hauptteiles rationale Zahlen sind, so kann 

 f{x) nicht eine ganze Zahl sein für unendlicli viele ganze Zahlen x, ohne 

 daß f (x) ein Polynom ist mit rationalen Koeffizienten'^. 



Beweis: Es sei die Reihe 



fix) ^ r,,; .r" + a[ x""-' + . • . + r^^ + ^ + • ., 



1 Ich gebe hier den Beweis dieses ziemlich trivialen Satzes, weil er eine 

 passende Einleitung zu den folgenden Sätzen bildet. 



