192 1 . No. I 7. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 1 1 



konvergent, wenn T > ii, wobei n^^, ■■-, ^/^_^ rationale Zahlen sind. 

 Diese haben dann einen gemeinsamen Nenner X. 

 Folglich wird 



Nf{x) -^ r/o x" + a, .r^-' + a^-, .x- + rr, + "-^ 4- . . . , 



wo jetzt aQ,ai, . . ., Hn-i ganze Zahlen sind. Außerdem ist Xf{x) immer 

 eine ganze Zahl, wenn f[x) eine solche ist, und dies also der \'oraussetzung 

 zufolge tur unendlich viele ganze Werte von x. Folglich wird die Differenz 



,;, {x) = .Y/^(^) _ n, rr" -a, x""^ a^^.x = .,, + '^ + 'i^V • • • 



auch eine ganze Zahl für dieselben unendlich vielen ganzen x. Wenn x 

 ins Unendliche wächst, konvergiert rp (.r) gegen a-a. Es muta also ('n eine 

 ganze Zahl sein, und aufàerdem mufa für alle betreffenden ganzen Zahlen :/■, 

 welche > eine gewisse Zahl J/ sind, rp [x] = Oj^ sein. Da indessen x ^ y: 

 eine reguläre Stelle der Funktion y {x) ist, so kann die Gleichung f {x) =^ '/„ 

 nicht unendlich viele Wurzeln, die sich um ,r = x häufen, haben, ohne eine 

 Identität zu sein, rp (x) ist also identisch = a^ , und wir erhalten 



Xf(x)^ aoJ^-\ -^ Or,, 



wodurch der Satz bewiesen ist.. 



Satz 9. Es sei x ^ oo entweder eine reguläre Stelle oder ein Fol 

 einer eindeutigen analytischen Funktion f{x). Weiter sei f{x) eine ganse 

 Zahl für unendlich viele ganze Werte von x, welche eine Terteilungs- 

 dichte >> haben. Dann ist f{x) ein Folynom mit rationalen Koeffizienten. 



Beweis: Es sei die Reihe 



/■ {x) = a^ x" H h n^_, x-^a^^'l^^J^..., 



X 



konvergent, wenn x ~> R, und es sei Ä' die Klasse der ganzen Zahlen x, 

 für welche /' [x] eine ganze Zahl ist. 



Besitzen die Zahlen in K eine \'erteilungsdichte >-0, so haben 



sie auch eine, welche >> — ist, wenn m eine hinreichend grofee eanze 



m » ö 



positive Zahl ist. Teilt man nun die Zahlenreihe in Intervalle, jedes aus 

 m (a + 1) Zahlen bestehend, so gibt es zufolge Satz 3 in unendlich vielen 

 der Intervalle mindestens u -\- 1 Zahlen, die zu K gehören. Es seien 

 ^1 <C ^2 ^C • • •' <C ^«_, die u -h I (kleinsten dieser) Zahlen innerhalb eines 

 beliebigen dieser Intervalle. Bildet man die Differenzen 



X-> X-i, X^ X-i, • • -, X^, •^«_i > ^//.^1 — ^iir 



so hat man eine Reihe von u Zahlen, die alle ^0 und <1 ^'H," -^- Ksind. 

 \'on solchen Reihen gibt es aber nur eine endliche Zahl. Es mul3 folglich 



