12 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



unendlich oft, d. h. für unendlich viele Intervalle, geschehen, daft eine solche 

 Reihe wiederholt wird. Dies bedeutet aber, daß man in unendlich vielen 

 der Intervalle /< -j- 1 zu K gehörende Zahlen finden kann, die in der Form 



geschrieben werden können, wobei die Zahl x von Intervall zu Intervall 



variiert, während die Zahlen )\ r^^ konstant sind. Diese x bilden eine 



Unterklasse lO von K. 



Man kann nun die Gleichungen bilden: 



f{x) = a,x'' + ü,x''-'-^--- 



f {X + n) = üo {X + r,f + a, (,/• + r,r-' + . . . + ^, + J-l^ + . . . 



X -\- ) I 



fi'c + r„) = ao {X + ;>)^ + a, {x + r^'' + • • • + ^'n + -J^ + • • • 

 ^ oo :r" 4- of x^-' + . . . 4- r//' + -^^ + • • . 



Hier sind die Zahlen a---a , a-'-a", • • • , r/f • . . a' lineare ho- 



1 n ' 1 n ' 'I n 



mogene Funktionen von ((q , ■ ■ • , ein, deren Koeffizienten ganze Zahlen 

 sind, welche nur von Ty • • • )\^ abhängen. 



Die Zahl u ist noch nicht bestimmt; wir können sie jetzt so grofe 

 wählen, daft die Gröfsen 



n n 1 n-1 n — 2 n— 2 n— 2 



ÜQ X ; üqX , eil ^ ; (IqX , Ol X , n^x ; • • • ; (to x, a-i x, ■ ■ ■ a,^ , x ; 



die ja alle linear mit ganzen Koeffizienten vorkommen, zwischen den 



Gleichungen eliminiert werden können. Das Eliminationsresultat ist von 

 der Form : 



A f \x) +Aif (X + Vi) ^...-^A„f{x-^ r^J = B+ A (^^ + -^^ + • • • j 



^n— 1 r On-l-2 I \ 



+ ^1 ~^ + 



^X -f- )\ (x + }\ )- 



+ 



+ ^^.( 



x+r„ ix+r.. 



wobei .4, Ay, ..., A^^ ganze Zahlen sind, die nicht alle verschwinden, 

 während B = A a^ -(- A^ a^^-\- . . . -\- J^, a"^ eine Konstante ist. 



