I92I.N0. ly. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. I3 



Für jedes x in Ä'^ nehmen f {pc), f [x -\- ]\), . . ., f [x -\- )\^ gleichzeitig 

 ganze Werte an, wodurch auch Åf{x)-V Axf [x -\- r^ -\- . . . -\- A ^,f [x -f r^^) 

 eine ganze Zahl wird. Da die rechte Seite der letzten Gleichung für un- 

 endliches X gegen B konvergiert, mufà Ji eine ganze Zahl sein, und für 

 alle X in Ä'^, welche ^ eine gewisse Zahl J/ sind, mufs die Summe der 

 übrigen Glieder rechts verschwinden. Da aber .r=oo eine reguläre Stelle 

 dieser Summe ist, mufe sie identisch Null sein. Dies bewirkt aber nach 

 § 1 (Satz 6), daf3 die Koeffizienten ^^n+i , f'n-f2 , • • • alle Null sein müssen. 



Es ist also f {x) ein Polynom in x, und dafa die Koeffizienten rational 

 sein müssen folgt sofort daraus, daß es für unendlich viele rationale (nämlich 

 ganze) Werte von x einen rationalen (nämlich ganzen) Wert hat. In der 

 Tat müssen ja die Koeffizienten eines Polynoms ?/'^« Grades rational 

 sein, falls es einen rationalen Wert hat für >? -|- 1 verschiedene Werte 

 von X. 



Anmerkung: Die Voraussetzung des Satzes, daß f [x) eindeutig sein 

 soll ist nicht nötig, wenn man nur weife, im Falle sie mehrdeutig ist. da6 

 derselbe Ziveig eine ganze Zahl ist für eine Klasse K ganzer x mit einer 

 Verteilungsdichte ^ 0. Dies folgt sofort daraus, dafe der Satz 6 auch in 

 diesem Falle anwendbar ist. 



Satz 10. Es sei die Reihe 



fix) = r/o x^i^a^x ^ 4- • • • + r/p + -^' 4 



x^ 



gegeben. Die Reihe sei honvergeni für \x^^R: p und q seien zwei 



qame positive Zahlen. Die Ebene soll längs der negativen reellen Axe 



1 

 auf geschnitten sein, so daß x'i eine bestimmte der qten Wurzeln von x 



bedeutet. Gibt es dann unendlich viele game Werte von x, wobei \x \^ R 



ist, mit einer Verteilungsdichte >0, für ivelche f{x) eine game Zahl 



ist, so ist f [x] ein Polynom mit rationalen Koeffizienten. 



Beweis: Es sei K die Klasse der ganzen x, für welche f{x) ganz ist. 



Da Ä' eine nicht verschwindende Verteilungsdichte hat, so gibt es auch 



eine solche ^ — , wenn m eine hinreichend große ganze positive Zahl ist. 



Denken wir uns wieder die Zahlenreihe in Intervalle, jedes aus m (n -(- 1) 

 Zahlen bestehend geteilt, so gibt es in unendlich vielen unter ihnen /<4-l zu K 

 gehörige Zahlen und dann wie wir früher gesehen haben auch in unend- 

 lich vielen a + 1 zu Ä' gehörige Zahlen mit denselben Differenzen. Für 

 unendlich viele ganze x, die eine Unterklasse /v^ von K bilden, gehören 

 also die u -\- 1 Zahlen 



X , X -\- )\ , • • • , X -f- )\^ 



