19:^1. No. 17. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. I5 



Hier sind a^, ..., <i'[ lineare homogene Funktionen von üq , ..., (Yp 

 mit rationalen Koeffizienten. 



Wählt man jetzt u hinreichend groß, können hieraus wieder alle die 

 linear vorkommenden Gröfaen 



P^ P__i p-q— 1 r-q jl^ 



Oo x'^ , ai X 'i , ■ • • , (Yq_i X q , r/o a: 4 , . . . , rrp_i x^ , 



deren Zahl ja endlich und von // unabhängig ist, eliminiert werden. Das 

 Eliminationsresultat ist von der Form 



.4 fix) + A, fix 4- ri) -f • • • + J, fix + ;;J = B -^ A rp, ix) + A, {cf, (x) 



+ Vi (^)) H h ^^,. (r,/. (^) + ^>u (^)) 



wo ^4, Ji, ..., A^^ ganze Zahlen sind, die nicht alle verschwinden, und 

 B = A r/p -}- A-i «'+••• + A^^ ((•' eine Konstante ist. 



Nun sind f{x), / (r + ^'i), ••-. / (^ + '" J alle gleichzeitig ganz für 

 alle X in X^. Da die rechte Seite der letzten Gleichung für unendliches 

 X gegen B konvergiert, mufs B eine ganze Zahl sein, und weiter mufa für 

 alle Zahlen x in Ä'^, welche ^ eine Zahl J7 sind, die Summe der übrigen 

 Glieder rechts verschwinden. 



Weiter läßt sich jede der Funktionen 



To (^). ri i^'^' • • • Tu i^)> ^i (^)- • • • V« (^) 



1 

 in eine Reihe nach fallenden Potenzen von x''^ entwickeln, die mit einem 



_ 1 

 Konstanten mal x '^ anfängt, und alle diese Reihen haben ein gemein- 

 sames Konvergenzgebiet | a: ,> ç: wobei g^K-j-r^^ ist. Setzen wir 



<p ix] =- A ffo ix) + Ai (rp^ ix) + f/;i ix)) -] [- A„ {fp„ ix) + i/^„ (:r)), 



so läfat sich also auch cp ix) in eine Reihe nach fallenden Potenzen von 



j^ _ 1 



x"^ entwickeln, wo X 'i die erste auftretende Potenz ist, und welche für 



I a; I "> Ç konvergent ist. 



Nun ist «/1 (,r) = für alle x in Ä'^ für welche \x\'^ M ist. Setzt 

 1 

 man also weiter x^ = z und (p ix) ^= X iz), so muß A' (,î) für eine q'e 



Wurzel von jedem derselben unendlich vielen x in Ä'^ verschwinden, und 



aufeerdem ist A' (^;) eine gewöhnliche Potenzreihe von — . Nach einem 



bekannten Satz über Potenzreihen mufà deshalb A' (^) und also auch rp ix) 

 identisch verschwinden. 



