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Da die Keihen j/'i {x), ipo (r), • • -, »/^,, {x), wie man aus ihrer Entstehung 



oben leicht sehen kann, ganze rationale Funktionen sind von x'^ und bezw. 



1 1 1 



[x -r- r\)^ , (x -f- '^)''.- • ■ A^^ -\- >' „V\ können wir Satz 7 anwenden. Sowohl 



diese // Reihen wie auch die Reihe —-^^ — | — '^-j'H""'' müssen also iden- 



x'^ Æ-'i 



tisch verschwinden. Dies ist aber nur möglich, wenn f(x) ein Polynom ist. 

 Denn da flp+i , flp+a . • • • alle Null sind, so ist jedenfalls 



f{x) = a^x^^^a,x q H fr/p, 



und falls f(x) nicht ein Polynom ist, ist rr^O die einzige singulare Stelle 

 im Endlichen. Dann müfate aber f [x -\- }\) (nur) die (einzige) Singularität 

 X = — )\ im Endlichen haben und könnte also nicht zugleich die Form 



p^ p— < 



OqX-^ -^ a\x ^ H h^J 



besitzen. 



Die Koeffizienten des Polynoms müssen natürlich aus demselben Grunde 

 wie früher rational sein. 



Satz 11. Es sei die Gleichung gegeben: 



A, [x) if-^A, ix) if-' H ^ J^ (,r) = , 



icorin Aq {x), ..., Ari[x) eindeutige analytische Funktionen sind, für 

 ivelche x = cc entweder eine reguläre Stelle oder ein Pol ist^. Es sei K 

 eine Klasse gamer Zahlen x mit einer Verteilungsdichte > 0, so daß 

 für jedes x in K eine solche game Zahl y existiert, daß die Gleichung 

 befriedigt uird. Dann u-ird die Gleichung identisc]i in hezug auf x 

 befriedigt, u-enn man stitt y ein gewisses Polynom P [x) mit rationalen 

 Koeffizienten setzt. 



Beweis: Die Diskriminante der Gleichung (in bezug auf y) ist augen- 

 scheinlich eine eindeutige anal3'tische Funktion D (.r) von x, für welche 

 iC = 00 höchstens ein Pol ist. Ist D [x] identisch = 0, so hat die gege- 

 bene Gleichung eine Doppelwurzel y for alle x. In jedem solchen Falle 

 läfet sich aber bekanntlich durch rationale Rechnungen eine Gleichung 

 finden, welche dieselben Funktionen // von x als einfache Wurzeln hat wie 

 die gegebene Gleichung, während die Koeffizienten der neuen Gleichung 

 Funktionen derselben Natur sind wie die Koeffizienten der gegebenen 



^ Aq (x) kann übrigens offenbar ohne Einschränkung der Allgemeinheit gleich 



1 gesetzt werden. Die Quotienten ^, ) ^ , - • •, \^ , , sind ja Funktionen 



Aoix)' 'Ao{x) 



derselben Natur. 



