I92I. No. 17. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. I 7 



Gleichung. Es wird deshalb hinreichend sein den Satz in dem Falle zu 

 beweisen, da D [x] nicht identisch verschwindet. 



Dann kann die Gleichung D [x)=^0 nur eine endliche Zahl von Wur- 

 zeln haben, deren absoluter Betrag eine gewisse positive Gröfae überschreitet. 

 Es gibt also eine positive Zahl J/i , so dafà D [x] nie verschwindet, wenn 

 I a; ' > Ml ist. Aufàerhalb des Kreises um den Nullpunkt mit Radius J/^ 

 gibt es dann, a* = x eventuell ausgenommen, kein Punkt, wo zwei oder 

 mehr der Wurzeln der gegebenen Gleichung gleich sein können (Verzwei- 

 gungsstelle der mehrdeutigen Funktion y, welche durch die gegebene 

 Gleichung definiert ist), d. h. die n Wurzeln können in diesem Gebiete als 

 n distinkte Funktionen von x betrachtet werden, wenn aufserdem die Ebene 

 längs der negativen reellen Axe aufgeschnitten wird ; wir können sie durch 

 l/i > Ui f • • ■ > Un bezeichnen. 



4 (x) 4 ix] 



Da 3' ^ 00 höchstens ein Pol für die Funktionen ^/ ; [ , • • • • , ' .^ \ 



Ao{x)' Ao{x) 



ist, so sind diese alle immer endlich für endliche x, absolut ]> eine gewisse 



Zahl JYo. Dann bleiben also auch [/i ■ ■ ■ l/n endlich, wenn x^^Mo. Es 



sei JY - Max [M^ 3/o). 



Die Zahlen x in K, die- ^ A/ sind, bilden eine Unterklasse A'm von Ä'. 

 Weiter sei K^ (i =^ 1,2,.,., n) die Unterklasse von A'm, für welche ?/, eine 

 ganze Zahl ist. Dann mufa mindestens eine der Klassen A", (Satz 1) eine 

 Verteilungsdichte ^ haben. Aufàerdem lassen sich //i , . . . i/^ in der 

 im Satze 10 angegebenen Weise entwickeln. Zufolge Satz 10 mufa aber 

 dann das betreftende .y, eine ganze rationale Funktion von x sein mit 

 rationalen Koeffizienten. 



Der Beweis des Satzes 1 1 läfat sich auch etwas anders führen nämlich 

 mit Hilfe folgender Betrachtungen, die auch sonst ein allgemeines Interesse 

 haben. 



Wir betrachten Funktionen der Form /' (.r, y) = Aq (.r) y^^ -j- Ai [x) y^~ 

 -\- • • • -{- Ai^{x), wo ^^0 • • • -"^n eindeutige Funktionen von x sind, für welche 

 X ^ CO höchstens ein Pol ist. 



Ist eine solche Funktion f{x, y) für alle .'" und y gleich dem Produkte 

 g (.r, y) Jt {x, y) zweier solcher Funktionen y (.r, y) und h [x, y), so kann 

 man sagen, dafa f{x,y) durch g{x,y) teilbar ist. Ist f nicht durch g teil- 

 bar, so gibt es zwei andere Funktionen der betrachteten Art, k [x, y) und 

 r (x, y), so daß f{x, y) = y (./', y) k {x, y) + r {x, y) ist, und außerdem r {x, y) 

 von kleinerem Grade in y ist als // {x, y). 



Nun gibt es für zwei Funktionen f und // immer gemeinschaftliche 

 Teiler, da z. B. die Konstante -|- 1 ein solcher ist. Weiter ist also das 

 Euklidische Verfahren zum Aufsuchen des größten gemeinschaftlichen Teilers 



Vid.-Selsk. Skrifter. I. M.-N. Kl. 1921. No. 17. 2 



