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gültig, (1. h. CS gibt immer einen eindeutig bestimmten gemeinschaftlichen 

 Teiler vom höchsten Grad, der durch alle anderen gemeinsamen Teiler 

 teilbar ist. 



V'crsteht man nun unter einer irreduldihlen Funktion eine, die nur 

 durch sich selbst und Funktionen von x allein teilbar und nicht nur eine 

 Funktion von x ist, während alle anderen (Funktionen von x ausgenommen) 

 vedHldibel genannt werden, hat man natürlich wie in der Algebra, da6 

 eine reduklible Funktion immer und tvesenÜich nur auf eine Weise das 

 Produkt von geivisscn irreduktiblen Funktionen ist^. 



Es genügt nun augenscheinlich, wenn man Satz 1 beachtet, den Satz 

 1 1 für irreduktible Gleichungen zu beweisen. Diese können also nicht 

 für jedes x eine Doppelwurzel haben. Dann kann die Diskriminante D {x) 

 nicht identisch verscliwinden, und der Beweis wird weiter geführt wie oben 

 angegeben. 



Ich gebe jetzt einige Anwendungen auf algebraische Gleichungen. 



Satz 12. Es sei in de)- GleicJmng 



H(x, y) = 0, 



ICO U ein ganzzaJdiijes- Polynom ist, für jede game Zald x einer Klasse 

 K mit einer Verteilungsdichte > mindestens eine der Wurzeln y eine 

 ganze Zald. Dann ivird die Gleichung identisch in x befriedigt, wenn 

 man statt g ein gewisses Polynom P [x] mit rationalen Koefpzienten setzt. 



Dies ist ja ein bloßes Korollar von Satz 11. 



Satz 13. Wenn für jede ganze Zald x einer Klasse K mit einer 

 Verteilungsdichte > mindestens v WiD'zeln g der Gleicliung 



B{x,y) = 



ganz si)id, so gibt es v Polg)iome P^ [x], Po {x), . . . , Pr (x), die statt y in 

 die Gleichwig eingesetzt Identitäten in besag auf x liefern. 



Beweis durch Induktion: Nach dem vorhergehenden Satze ist diese 

 Behauptung richtig, wenn v = l. Ich setze die Richtigkeit für v — 1 voraus 

 und beweise sie dann für v. 



Nach Satz 12 gibt es jedenfalls ein solches Polynom Pj (/). Schreiben 

 wir die gegebene Gleichung in der Form 



^"+ Ji(x) /-' + •• • + .-!„ U-) = 0, 



^ D. h. von der Anordnung der Faktoren und von Faktoren, die Funktionen 



von X allein sind, abgesehen. 

 " Man brauchte natürlich nicht vorauszusetzen, daß die Koeffizienten ganze 



Zahlen sind. Es ist aber nur dieser Fall von Interesse, da es ja sonst 



ganz trivial ist, daß sogar bloß endlich viele Lösungen in ganzen Zahlen 



X, y vorhanden sind. 



