I92I.N0. 17- VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. I9 



WO jetzt Ai [x], . . . , ^4ti (i) rationale Funktionen von ./' sind, so haben wir 

 für alle x 



/ + --I1 (^) ir' + • • • + ^Jn [X] = (// - Pi {X)) (/-' + A[ ix) if -'-{-...-{- aI_^ ix]) , 



und hier sind A, , • ■ ■ , A , wieder rationale Funktionen von ,r mit ratio- 



1 n— 1 



nalen Koeffizienten. Da für jede Zahl x in K mindestens r der Wurzeln 

 }j ganz sein sollen, so müssen augenscheinlich mindestens r — 1 der 

 Wurzeln der Gleichung 



y--' -\.A[{x)!r'-^ ■■■-{- A[^_^{.r)^0 



ganz sein für eben diese r. Hieraus folgt nach der \'oraussetzung, dafà 

 V — 1 Polynome Po (■'^)> • • » P»' (^) "^i^ rationalen Koeffizienten existieren 

 müssen, so daß die letzte Gleichung von y = P, {x) {i = 2, . . ., v) identisch 

 in X befriedigt wird. Dann wird aber die gegebene Gleichung für alle x 

 befriedigt, wenn man y = P, {x) [i = 1, 2, • • -, r) setzt. 



Man kann auch folgenden Satz aufstellen, der etwas mehr aussagt als 

 Satz 12. 



Satz 14. Es sei für jede ganze Zahl x einer Klasse K mit einer 

 Verfeilungsdiclite > mindestens eine Wurzel y in 



H{x.y)^0 



eine ganze Zahl. Dann gibt es u Polynome Pi{x), . . ., P^^ {x) (selbst- 

 verständlich f.1 ^ 72, wenn H {x, y) vom Grade n in y ist) mit rationalen 

 Koeffizienten, so daß H{x, P, (x)) {i^l,2, . . ., u) identisch verschivindet, 

 während außerdem für jede Zahl in K, hödistens ausgenommen eine 

 Unterklasse K' mit der einzigen Verteilungsdichte Xull, mindestens eines 

 der u Polynome eine ganze Zahl ist. 



Beweis: Zufolge Satz 12 mufe jedenfalls ein Pi(x) mit rationalen 

 Koeffizienten existieren, so dalà H (x, Pi{x)) identisch verschwindet. Ist 

 Pi {x) eine ganze Zahl für jede Zahl x in Ä' oder höchstens ausgenommen 

 die Zahlen einer Unterklasse K mit nur verschwindender Verteilungsdichte, 

 so ist der Satz richtig. Im entgegengesetzten Falle müssen die Zahlen 

 einer Unterklasse Ä\, welche sogar mit Ä' identisch sein kann, ausgenom- 

 men sein, wobei Ki eine X'erteilungsdichte >> hat. Da aber auch für 

 jede Zahl in Ä'^ mindestens eine der Wurzeln y ganz sein sollen, während 

 Pi ix) nicht ganz ist, so mulà augenscheinlich mindestens eine der Wurzeln 

 // der Gleichung Iji{x, y) = 0, die man aus H(x,y) durch Wegdividieren 

 des Faktors y — P^ {x) erhält, ganz sein. Deshalb mufe ein Polynom 

 Po (r) mit rationalen Koeffizienten existieren, so daß H]^ {x, Po (./')) und 

 folglich auch H{x, Po (x)) identisch verschwindet. Ist nun Po {x) eine ganze 



