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Zahl für alle ./; in A'i , liüchstcns ausgenommen eine Unterklasse mit nur 

 verschwindender Verteilungsdichte, so ist wieder der Satz richtig. Die 

 Betrachtung kann in dieser Weise fortgesetzt werden, wodurch die Rich- 

 tigkeit der Behauptung einleuchtet. 



Ein einfaches Beispiel hierzu ist die Gleichung 



(2 // -f 1 — x) (2 // — x) ---= 0. 



Hier ist // = 2; K ist die ganze Zahlenreihe und /v' = 0. Diebeiden 



X X — 1 



Polynome V\ [x] und Po (•^j sind und — ^ — . Für jede ganze Zahl x 



ist ja entweder oder —^ — eine ganze Zahl. 



Satz 15. Es sei für jede game Zahl x einer Klasse K mit einer 

 Verteilungsdichte >> mindestens eine Wurzel g der Gleichimg 



H [x, g) = 



eine rationale Zahl. Dann gibt es eine rationale Funktion R{x) mit 

 rationalen Koeffizienten so beschaffen, daß E(x,R{x)) identisch =Oist. 

 Beweis: Die gegebene Gleichung kann in der Form 



A, {X) ./ + .4, ix) //"- ^ + . . . 4- J, (^) .^ 

 geschrieben werden, wobei .^o, . . ., J» ganzzahlige Polynome sind. Wird nun 



A^^{x)g = gl 

 gesetzt, so bekommt man 



tA + ^-ii {^) Ur' + ^-^0 i-r) A, {X) /y';-- + ■ • • + -4o (4'^' A,, {x) = 0. 



Für jede Zahl x in K ist augenscheinlich auch gi rational; da aber 

 gleichzeitig alle Koeffizienten der letzteren Gleichung ganze Zahlen werden, 

 mufà gi ganz sein. Es ist also ?/i eine ganze Zahl für alle Zahlen der 

 Klasse K, und folglich gibt es (Satz 12) eine ganze rationale Funktion P{x) 

 mit rationalen Koeffizienten so beschaffen, daß die letzte Gleichung iden- 

 tisch in X befriedigt wird, wenn man ?/i^P(r) setzt. Dann mufs aber 



F (j ) 

 gz=z— — — die ursprüngliche Gleichung H[x,g)=0 zu einer Identität 

 Aq [x) 



machen. 



Satz 16. Fs sei das Sgstem von Gleichungen 



Hi{x,gi, ■ ■ -, //n) = 0, H.[x,g^, ••-, ?/n) = 0, , H^{x;g^, • • -, y^) =0 



gegeben^ wobei Hi • • • H^ solche ganze rationale Funktionen bedeuten, 

 daß die n Gleichungen von einander unabhängig sind. Weiter bestehe 

 für jede Zahl x einer Klasse K mit einer Y erteilungsdichte ]> min- 

 destens eine der zugehörigen Wertekombinationen y\- • • gn "'*'" ^us ganzen 



