1 921. No. 17. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 21 



Zahlen. Dann gibt es n Polynome mit rationalen Koeffizienten P^ [x) 

 ." Pn{a:), so daß die n Gleichungen 211 Identitäten in x werden, wenn 

 man y^ = Pi {x), •• ■,yn = Pn {or) setzt. 



Beweis: Die n Gleichungen bestimmen ^1 • . . //n als Funktionen von 

 X, für welche Reihenentwicklungen der Form 



Pj_ Pl— 1 P2 P2-Ï 



yi = ac,ix'^i -\- ai,ix ^^ H , //2 = ^'0. 2 ^:^- + «i, 2 ^ 'i- + ' • • - 



■■ • , Un = «C, n X'^n + a^, ^^ X "^n + • • • 



gelten, wobei die verschiedenen Wertekombinationen teils durch verschie- 

 dene Werte der Koeffizienten (( und teils durch verschiedene Werte von 



il -Li ^ ... geliefert werden. Die Zahl dieser Wurzels3'steme ist aber 



endlich. Nach Satz 1 mufa deshalb eine Unterklasse K' von Ä' existieren 

 so beschaffen, daß für jedes x in K' ein bestimmtes dieser Wurzelsysteme 

 nur aus ganzen Zahlen besteht. Dann müssen aber, wenn yi ■ . ■ y-a. dies 

 Wurzelsystem ist, kraft Satz 10 //1 . • . Un ganze rationale Funktionen von 

 .'■ sein mit rationalen Koeffizienten. 



Man kann natürlich hier einen allgemeineren Satz aufstellen, der in einem 

 ähnlichen Verhältnis zu Satz 11 wie Satz 16 zu Satz 12 steht, nämlich 

 folgenden : 



Satz 16'. Es seien die n unabhängigen Gleichungen 



gegeben, ivorin Hi . . . Ha game rationale Funktionen von yi . . .y-o. sind, 

 deren Koeffizienten eindeutige analytische Funktionen einer Variabein 

 X sind, die nach fallenden ganzen Potenzen von x entwickelt iverden 

 können. Weiter sei mindestens ein Wurzelsystem yi . . . yn ganzzahlig 

 für jede Zahl x einer Klasse K mit einer Verteilungsdichte '^ 0. Bann 

 gibt es n Polynome mit rationalen Koeffizienten, Pi {x), . . ., Pn {x), so 

 beschaffen, daß die n Gleichungen identisch befriedigt werden, wenn man 

 yi = Pl {x), ..., 2/n = Pn {oc) setzt. 



Beweis: Da die Gleichungen unabhängig sind, kann man durch Elimi- 

 nation von y-2 • • • gn eine nicht identische Gleichung in x und y^ 



Pl [X, y,) = 

 erhalten. Weiter seien 



P2 {x, !h) = (",'■; Pn [oc, //n) = 

 die analogen. Die Diskriminanten der Gleichungen seien bezw. Di{x),---, 

 I)n{x). Sollte z. B. I)i{x) identisch ^ seien, könnte man durch rationale 



