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Rechnungen die mehrfaclic(n) Wurzel(n) von h\ (r, //,) = wegschaffen oder 

 m. a. W. diese Gleichung durch eine andere R\ {x, //i) = ersetzen, welche 

 dieselben Wurzeln wie h\ [x, y{) = 0, aber jede einfach, hat. Deshalb kön- 

 nen wir annehmen, dafs die Gleichungen A\ = 0, . . ., li^ schon von 

 mehrfachen Wurzeln befreit sind, oder m. a. W. dafe keine der zugehörigen 

 Diskriminanten D^ {x), . . ,, 1)^ {x) identisch verschwindet. Nun läfet sich 

 die Funktion D^ [x) J)> (x) . . . Dni^c) nach fallenden ganzen Potenzen von x 

 entwickeln, und deshalb kann die Gleichung 



nie mehr stattfinden, wenn î^cj > eine Zahl M^ geworden ist. Da außer- 

 dem alle Koeffizientfunktionen von x der Funktionen H regulär sind, wenn 

 \x\ ^ eine Zahl il/y, so verhalten sich aufaerhalb eines Kreises der./". 

 Ebene um den Nullpunkt mit Radius M =-- Max ( J/i , J/g) <^ie Funktionen 

 Vi • ' • th\ überall regulär und eindeutig im Endlichen, während jr = oo 

 höchstens eine algebraische Singularität sein kann. Hieraus folgt, dafa 

 y/i ■ . . i/n nach fallenden ganzen oder gebrochenen Potenzen von ./' ent- 

 wickelt werden können, und für \x\ > M können die verschiedenen Wurzel- 

 kombinationen konsekvent unterschieden werden. 



Da nun die Zahl der Wurzelkombinationen endlich ist, mufà eine Unter- 

 klasse K' von K mit Dichte ^0 existieren so beschaffen, dafe eine be- 

 stimmte Wurzelkombination ganzzahlig ist für alle x in K'. Nach Satz 

 10 sind also die betreffenden i/i . ■ . yn Polynome mit rationalen Koeffizienten. 



Zusatz zu Satz 16'. 



Falls mehr Gleichungen H^i^i = 0, H^+o = 0, • • • zwischen x, //j . . .//a 

 hinzukommen, während noch für jede Zahl x in K mindestens ein ganz- 

 zahliges Wurzelsystem i/i . . . )/n existiert, das alle Gleichungen befriedigt, 

 so gibt es noch n Polynome mit rationalen Koeffizienten, welche statt 

 Vi • • -Un eingesetzt alle Gleichungen identisch in x befriedigen. Denn für 

 alle X absolut ^ M können die verschiedenen Wurzelsysteme der Glei- 

 chungen Hl = 0, ... , Hu ^ konsekvent unterschieden werden, und es ist 

 dann bestimmt, welche von ihnen auch die übrigen Gleichungen //nfi =0, 

 -^n+2 = 0, . . . befriedigen. Unter ihnen muß der Annahme zufolge min- 

 destens eines ganzzahlig sein für ein beliebig gewähltes x in Ä'. Es gibt 

 also wieder eine Unterklasse K' von K mit Dichte > 0, so daß ein 

 bestimmtes der betiefifenden Wurzelsysteme ganzzahlig ist für alle a' in K', 

 woraus folgt, dafa dieses System aus ganzen rationalen Funktionen von x 

 mit rationalen Koeffizienten besteht. Diese Polynome, Fi [x], . . ., P^ [x), 

 befriedigen dann alle Gleichungen für jedes X in K' , und da K' unend- 

 lich viele Zahlen enthält, müssen sie also die Gleichungen identisch befriedigen. 



