1921. No. 17. VERTEILUNGE.V GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 23 



Es wird später (zweiter Beweis des Satzes 24) eine Anwendung hier- 

 von gemacht. 



Satz 17. Es sei K die Klasse der gamen rationalen x, für welche 

 mindestens eine Wiirsel y der Gleichung 



H{x,g) = 



eine game ZaJd eines algebraische}! Zahlkörpers R ist, wobei H{x, y) 

 ein Polynom ist, dessen Koeffizienten game Zahlen in R sind. Hat 

 dann K eine Verteilungsdichte >» 0, so gibt es ein Polynom P{x) mit 

 Koeffizienten, ivelche zu R gehören, so daß H{x, P [x)) identisch ver-: 

 schicindet. 



Beweis: Es sei loy,..., cjn eine Basis der ganzen Zahlen in R. Für 

 jede Zahl x in A' ist dann eine Wurzel y von der Form //i cJi -\- y-i Wo 

 4" ■ • • ~h ^n Wn, wobei yi • - • yn ganze rationale Zahlen sind. Durch Ein- 

 setzung dieses Ausdrucks für y zerlegt sich bekanntlich die Gleichung 

 ■^{'^>I/) = ^ in ein System von )i Gleichungen 



^1 i^, Vi, ■ • ; l/n) = 0, Ho [X, ?/l, • • -, yn) = 0. , //n {x, //j, • • -, //n) = 0, 



und (ür jedes x in Ä' sind diese Gleichungen von ganzen rationalen Zahlen 

 !/\> • ' ■> !/a betriedigt. Nach Satz 16 müssen diese Gleichungen dann Iden- 

 titäten in bezug auf x werden, wenn statt yi, . . -, yn gewisse Polynome 

 Pi{x],..-, Pni^} mit absolut rationalen Koeffizienten gesetzt werden. Dies 

 bedeutet aber, dafe identisch in x 



H{X, P, [X] Wi + Po ix) tJo-\ -f Pn (JT) Wn) = 



ist, wodurch die Behauptung bewiesen ist. 



Bei diesem Satze ist die Voraussetzung wesentlich, dafe H eine ganze 

 rationale Funktion ist nicht nur in bezug auf y, sondern auch in bezug 

 auf X. Es ist also hier nicht möglich einen Satz aufzustellen, der den 

 Sätzen 11 und Iß' entsprechen könnte; es genügt durchaus nicht voraus- 

 zusetzen, dafa die gegebene Gleichung ganz rational in y allein ist, während 

 die Koeffizienten der Potenzen von ^ beliebige eindeutige analytische Funk- 

 tionen wären, die sich nach fallenden Potenzen von x mit rationalen Koef- 

 fizienten entwickeln liefàen. Dies beruht darauf, dafà es im allgemeinen 

 nicht möglich ist in einem algebraischen Zahlkörper ^(ten Grades )i Zahlen 

 zu finden, welche linear unabhängig sind in bezug auf den Zahlbereich Z, 

 der durch die Koeffizientfunktionen für ganze rationale x und außerdem 

 alle mögliche X'erknüpfungen davon durch die vier ersten Rechnungsarten 

 geliefert werden. In der Tat ist es nicht schwer zu sehen, dafà eine 

 passend gewählte eindeutige analytische Funktion der erwähnten Art für 

 ein gegebenes ganzes rationales x, z.B. x^l, gleich einer völlig belie- 



