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bigen reellen Zahl ^" sein kann. Es wird augenscheinlich genügen zu 

 zeigen, daß eine ganze transcendente F'unktion mit rationalen Koeffizienten 

 sich finden läßt, welche für x= 1 gleich | wird; denn durch die 'IVans- 



formation x = geht sie in eine Funktion der erwähnten Art über. In 



der folgenden Weise läßt sich dies zeigen: 

 Es seien 



«■\) «2. «3) • • • 



eine unendliche Reihe positiver reeller Zahlen, welche gegen konver- 

 gieren. Aufjerdem seien die Brüche 



'7<f<--<r<r-<--<- 



yi 72 ^yn (/n + 1 



und außerdem so gewählt, daß 



!: 



<M'-^:) 



was augenscheinlich möglich ist. Dann ist 



'il ^V^in + l 'Zn 



n=l 



eine ganze transcendente Funktion mit rationalen Koeffizienten, welche für 

 a; == 1 den Wert ^ hat. 



Beweis : Man hat einerseits 



.^n+2_iV+_l /j: _^^n+l_^ /j. ;>n 

 Vn + 2 Ç/n + 1 ^,1 + 1 \ qxi 



und andererseits 





(/n + a 'in + 1 ^— an\gn+l ^n^ 



für unendliches ^? gegen konvergiert, muß die erwähnte 



Reihe für alle ./■ konvergieren. Außerdem konverg-iert - gegen £. Hier- 

 durch ist alles bewiesen. 



Es kann deshalb in diesem allgemeineren Falle sehr wohl geschehen, 

 daß die Zahlen des Körpers B schon im Bereiche Z enthalten sind, und 

 die im Beweise des Satzes 17 gemachte Zerfällung in )\ Gleichungen wird 

 nicht mehr möglich. 



Satz 18. Es sei ein System von m von einander unabhängigen 

 Gleichungen 



^1 {x, 2/1, • • -, ym) = 0, , H^ {.r, gi, ..., g^) = 



