I92I. No. I 7. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 25 



gegeben, icohei H^ . . . Er, ganze rationale Funktionen sind, deren Koef- 

 fizienten ganze Zahlen eines algehraischen Zahlkörpers R sind. Sind 

 für jede Zahl x einer Klasse K ganzer rationaler Zahlen mit einer 

 Verteilungsdichte >0 alle m Zahlen y-^ ... y^ eines zugehörigen Wurzel- 

 sgstems ganze Zahlen in E, so gibt es m ganze rationale Funktionen 

 von X, Pi {x), .. ., Pm {x), mit Koeffizienten in R, so daß die m gegebenen 

 Gleichungen für alle ^yerte von x befriedigt icerden, nenn man y^^P^{x), 



.. M ym = Pxn{3C) Setzt. 



Beweis: Es sei wj, (tjo, . . ., Wn eine Basis der ganzen Zahlendes 

 Körpers R vom Grade }i. Für jede Zahl x in Ä' sollen die m Gleichungen 

 alle gleichzeitig befriedigt werden, wenn g^ = //r, i oh + • • • + ^, n (i^n 

 (;• =: 1, . . .^ i») ist, wobei alle mn Zahlen ^r, s ganz und rational sind. 

 Durch Einsetzung dieser Ausdrücke für ?/r zerlegt sich bekanntlich jede 

 der m Gleichungen in n Gleichungen zwischen den Zahlen //r, s- Es ent- 

 steht in dieser Weise ein System von m n Gleichungen zwischen x und 

 den Zahlen i/r, s, und diese Gleichungen sind für alle a^ in ^ von ganzen 

 rationalen Zahlen ^r, s befriedigt. Außerdem müssen natürhch diese Glei- 

 chungen von einander unabhängig sein. Nach Satz 16 müssen sie also 

 identisch in bezug auf x befriedigt werden, wenn man statt ^r, s gewisse 

 Polynome Pr, s(>^') mit absolut rationalen Koeffizienten setzt. Dadurch 

 werden aber die m gegebenen Gleichungen identisch in x befriedigt, wenn 

 man g^ = Pr, i{x) lo^ -{-■■■ -{- Pt, n (cc) con (/• = 1 , 2, • • -, m) setzt. 



Satz 19. Es sei 



F{x, g) = / + A, [x] y^-' + • ' • + ^"^n i-r), 



wo n'^l und A^ . . . Jq Polynome sind mit ganzen rationalen Koeffizi- 

 enten, eine irreduktible Funktion von y innerhalb des Rationalitäts- 

 bereiches L, der aus allen rationalen Funktionen von x mit rationalen 

 Koeffizieyiten besteht. Die Klasse K der ganzen rationalen Zahlen x, 

 für luelche die übrig bleibende Funktion von y reduktibel im naiilrlichen 

 Rationalitätsbereich ist, kann dann, nur die Y erteilungsdichte Null haben^. 

 Beweis: Soll F{x, y) für einen Wert von x reduktibel in bezug auf 

 y werden, so mufe identisch in bezug auf y 



Ij- + A, ix) y-' ^... ^A.A^) --= if + «1 .'/■"' + • • • + o.) {y""^'' + 



1 Ähnliche Sätze über Irreduktibilitäten, wie die hier bewiesenen, sind von 

 D. HiLBERT im Journal für Mathematik, B. iio, aufgestellt worden. Die 

 Beweise Huberts sind aber komplizierter, und aufscrdem haben die in 

 dieser Abhandlung bewiesenen Sätze einen größeren Inhalt. 



