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Da -Il . . . -In für jede ganze Zahl x ganz sind, müssen bekanntlich 

 für solche x auch rq . . . ur, ßi . ■ . (in-r ganz sein. Nun gibt es bloß n — 1 

 mögliche Wahlen der Zahl v, und wird deshalb mit Kr diejenige Unter- 

 klasse von A' bezeichnet, für welche eben eine Reduktibilität mit dem 

 Werte v stattfindet, so müfste (Satz 1) mindestens eine dieser Klassen Ar 

 eine Verteilungsdichte > haben, falls K eine solche hätte. Weiter müfaten 

 die Gleichungen 



f<l -h ßi -= -^l {■''), «1 /^1 + «2 + ß-> = '^2 ix), , (tv ßn-v = Ar, {l), 



welche von der im Satze 16 erwähnten Form sind, für alle Zahlen ./' in 

 Kr von ganzen Zahlen a und ß befriedigt werden. Nach Satz 16 müfeten 

 deshalb diese Gleichungen Identitäten in bezug auf x werden, wenn statt 

 «i . . . «r, ßi . . . ßn-r u ganze rationale Funktionen von X mit rationalen 

 Koeffizienten eingesetzt werden. Dies würde aber augenscheinlich bedeuten, 

 daß F{x, y) innerhalb L reduktibel wäre. 

 Satz 20. Es sei 



Fix, II) = / + Ä, ix) if-' + . . . + .4n ix), 



wo li > 1 nnd Ai, Ao, . . ., Jn Polynome sind, deren Koeffizienten yanze 

 Zahlen eines alyebraiscJien Zahlkörpers R sind, eine irredukfihJe Funk- 

 tion von y innerhalb des Fimktionenkörjjers L, der aus allen rationalen 

 Funktionen von x mit Koeffizienten in R besteht. Es sei K die Klasse 

 der yanzen rationalen x, für ivelche Fix, y) reduktibel in R rcird. Dann 

 kann K nur die Verteilunysdichte Nidl haben. 



Beweis: Soll F {x, y) für ein x reduktibel werden, mufs identisch in y 

 eine Gleichung der Form 



,fJ^AAx)y''-'^----^Ar.(x] 



= {>r + «1 //'-' + • • • + rr,.) (//^-'' + ß, y^-'-' + . • . + ßn-.) 



bestehen, wobei a\, . . .,ar, ßi, . . ., ßn~r Zahlen in R sind. Da aber A^ 

 . . . .J„ immer ganze Zahlen in R sind, wenn x eine ganze rationale Zahl 

 ist, so müssen auch cq, . . , ar, ßi, . . -, ßn-r ganze algebraische Zahlen sein 

 und folglich auch ganze Zahlen in R. 



Weiter müf3te, falls K eine Verteilungsdichte > hätte, wie früher 

 eine Unterklasse Kr mit nicht verschwindender Verteilungsdichte existieren, 

 für wejche r einen bestimmten seiner n — 1 möglichen Werte hätte. Für 

 jede Zahl x in Kr müfsten also die Gleichungen 



«l + ßl = Ai {.r), «1 ßi_ -f «2 + ßi = -h ix)< CCr ßn-r =-" .4n (r) 



in der Weise befriedigt werden, dafa «i . . . ctr, ßi . • . ßn-v ganze Zahlen in 

 R wüi-den. Nach Satz 18 müfaten folglich eben diese Gleichungen zu 



