I92I.N0. 17- VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 27 



Identitäten in bezug auf x werden, wenn statt «i . . . ar, ßi . ■ . ßn-r bezw. 

 n ganze rationale Funktionen von x mit Koeffizienten in li gesetzt würden. 

 Das würde aber bedeuten, dafe F {x, y) eine reduktible Funktion von i/ 

 wäre innerhalb L. 



Satz 21. Es sei die Funktion 



F{x, ij) = Ao ix) if + J, (^) ^-^ ^ + . . . + .4, (4 



worin Aq . . . A^ Polynome sind, deren Koeffizienten ganze Zalilen in 

 einem algebraischen Zahlkörper R sind, eine irreduktible Funktion von 

 y in dem Körper L, der aus allen rationalen Funktionen von x mit 

 Koeffizienten in B besteht. Dann kann die Klasse der ganzen ratio- 

 nale)! X, für welche F{x, y) eine reduktible Funktion von y im Körper 

 R ist, nur die T erteilungsdichte Null haben. 



Beweis: Gilt für ein x und alle y die Gleichung 



Ao ix) y"" + A^ [x) //""' H h --In [x) 



= («0 if + --'+ ro.) {ßo y^-" + • • • + ß''~'-) , 



so dafs .4o (x) == «o ßo sein mufe, so bekommt man durch Multiplikation 



( / vii— 1 n— 1 ,,n— 1 



mit Jo (^) = «0 ßo 



^0 i^f 'f + -^1 [x] Ao [xf-' y""-' + • • • + .^n (.'•) Ao 1^:^-^ 

 = («:; ßl f + «r' /^0 «1 f' + • • • + <-' ßo ^<-.) 



(«r^' ^0 -'• ir^ + <-'' ßr'-' ß^ ^""""' + ■ • • + <-" ßr'~' ßn-.) , 



oder wenn Ai{x)y = yi gesetzt wird: 



^ [X, ?/l) = 111 + -^l (-^0 yV + • • • + -^O [Xf -^n [X] 



= (2/r + ^'1 /^o /yr ' + •■• + <"' /^o «") 

 (^r " + «o ßi y""-'''' + • • • + «r'' ßV"-' ß--)' 



Hieraus sieht man, dafs F{x, y) für ein ganzes rationales x nicht eine 

 reduktible Funktion von y in R sein kann, ohne dafs c? {x, yi) reduktibel 

 wird und mit demselben Werte von v. Hätte also K eine Verteilungs- 

 dichte > 0, so wäre nach Satz 20 ø (./', y) reduktibel in L. Dies würde 

 aber bedeuten, dafa identisch in x und yi 



<P [r, yi) = y; 4- A, {x) y""-' + • • • + .-io [xf Mx) 

 ^{>f; + Bi [x] y'-' + ---^Br (.r)) {iß^-- + L\ (X) y^r-'-r • • • + Cn-,.(.r)) , 



wo B], . . . Bi, Ci, . . ., Cn-r rationale Funktionen von x sind mit Koeffi- 

 zienten, die zu R gehören. Hieraus würde wieder folgen 



