28 TH. SKOLEM. M.-N.KI. 



I'{^, U) = f^^'.f'! = •'<' ^^) .V" + ''i (^) /' '+•••+ ^ln (XJ = A, {X) 

 wodurch ersichtlich wird, dafà F{x, y) auch reduktibel in L sein mlifete. 



S 4- 



Funktionen zweier oder mehrerer Variabein x, ij, . . . , welche ganze 

 Werte haben für unendlich viele ganze Werte von x, ij, . . . 



Satz 22. E^ sei 

 f {X, y) = A, [x) y'i + A, (.r) yV + • • • + .4p (.r) + ^i^^!^ -f • . • , 



?6^o 7> H»(Z g gayise positive Zahlen und Aq, A^, . . . Funktionen von x 

 sind, die (die in der im Satze 10 crwiUinten Weise nach fallenden ganzen 

 oder gebrochenen Potenzen von x entwickelt iverden können. Es luird 

 dabei vorausgesetzt, daß sowohl die x- wie die y-Ebene längs der nega- 

 tiven reellen Axe aufgesch)iitten sind, so daß die vorkommenden ge- 

 brochenen Potenzen von x und y eindeutig bestimmt sind. 



Die Reihen für .4o, ^4^, . . . sollen alle für \x\'^ ein positives a kon- 

 vergieren, ivährend für |a;|> a die Reihe für f{x,y) konvergieren soll, 

 ivenn y~> Y {x) ist, ivobei Y [x] eine positive ZaJd ist, die im allgemeinen 

 von x abhängig ist. 



1st dann f{x, y) eine ganze ZaJil fiir eine Kla-sse K von Paaren 

 [x, y) mit den Eigenschaften 1) und ^) [Siehe Seite o), so muß f{x, y) 

 ein Polynom sein, mit rationalen Koeffizienten'^. 



Beweis: Da die Zahlen y in k{x) eine Verteilungsdichte > ~ haben, 



muf3 für jedes x in /.• (Satz lü) f (x, y) ein Polynom in bezug auf y sein. 



JJ 



dann in der F'orm Jq (■')//' + Ay{x) y'^~' + ' * ' + A-a,{x) geschrieben 

 werden. Wir teilen dann die Zahlenreihe in Intervalle, jedes aus />; (/? + !) 



Es sei )i 



die größte ganze Zahl ^". Dieses Polynom kann 



1 Aufserdem sollen natürlich die Ungleichheiten | a: | > «, \y\~>Y{x) für 

 alle Paare x, y \n K gültig sein, sonst würden wir ja außerhalb des 

 Konvergenzbezirks kommen. 



