I92I . No. 1 7- VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 29 



Zahlen bestehend; es gibt also (Satz 3) in unendlich vielen unter ihnen 

 n -\~ 1 Zahlen, die zu k{x) gehören. Es seien yi . . . yn+i n -\- l solche 

 Werte von y in einem dieser Intervalle. Bilden wir jetzt die Gleichungen 



Ao{.r)y';+--- + Ar,{x)= h, 



A{x)yl^, H h'^n(^) = /?n + l, 



worin also li^, . . ., Au+i ganze Zahlen sind, so bekommen wir 

 D • At [x) = einer ganzen Zahl (r = 0, 1, . . ., n), 

 wobei 



y, • • • 1 

 ^ = . . • ■ =±{y\ — y-2){yi — y-i) •• -{yn — 2/n+i ) 



(m 



2/n+l • • • 



Da die Differenzen 



( n+J)n 



1 



und außerdem ist » rgC ^ 



alle < m [n -{- 1) sind, wird 1 Z>| >< 

 P 



Die Zahl I) kann selbstverständlich für die verschiedenen Intervalle 

 (oder auch eventuell verschiedenen Wahlen von //i . . . //n-pi innerhalb des- 

 selben Intervalles) verschiedene Werte haben. Jedenfalls haben aber diese 

 Zahlen D einen größten gemeinschaftlichen Divisor (J, der dann nur von 

 X abhängte Aufaerdem gibt es, wenn D-^ Do,- - Di die Werte von D sind, 

 ganze rationale Zahlen f\, t-2, . ■ . t\, so daß Z>i f^ + i)2 ''2 + • ' ' ^ Dif\=d 

 ist. Es wird deshalb auch ^/ .1 r (a:) (r == 0, 1,..., n) eine ganze Zahl. Da 

 aber die Zahlen d, welche für die verschiedenen ./■ auftreten, auch alle 



<^ {jn ()i -[-1)) " sein müssen, haben sie alle ein gemeinsames Multiplum J. 



Es wird dann J ■ Aj.{x){r = 0, 1, . . ., u) eine ganze Zahl für jedes x 

 in k, und da k eine Verteilungsdichte ^0 hat, muß (Satz 10) J Ar{x) 

 ein Pol^'nom sein mit rationalen Koeffizienten. Es sind also auch die Funk- 

 tionen A^ix) solche Polynome, wodurch die Behauptung bewiesen ist. 



Satz 22'. Es sei wieder f{x, y) eine Funktion, welche in der in Satz 

 22 erwähnten Weise entwickelt werden kann. Ist dann /"(a", ?/) eine ganze 

 Zahl für unendlich viele Paare ganzer Zahlen x, y, so daß die V'erteilungs- 

 dichte > ist in bezug auf // für unendlich viele x und umgekehrt ^ 



1 Falls der Nullpunkt y = für jedes x als Trennungspunkt zweier Inter- 

 valle gewählt wird. 



