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in bezug auf x für uncndlicli viele /y, so mufj / {x, ij) ein Polynom sein 

 mit rationalen Koef(izicnten. 



Beweis: Betrachten wir einen der ganzen Werte von x, für welche 

 solche Zahlen // mit einer Verteilungsdichte ^- existieren soll, dafe /"(a:,//) 

 ganz wird, so nui(3 / {x, ij) nach Satz 10 für den betreffenden Wert von x 

 eine ganze rationale Funktion von // sein, d. h. A^^r {x} = für /■ = 1,2, 

 ... Da dies für unendlich viele ganze ;/' gelten soll, welche also x=o:> 

 als Häufungsstelle haben, müssen die Funktionen J,, fr(^) identisch ver- 

 schwinden. Folglich ist f [x, y\ für alle x und // eine ganze rationale 

 Funktion von yy. Da man aber nach der Voraussetzung x und y in der 

 ganzen lîetrachtung vertauschen kann, mufa f{x, ij) auch eine ganze ratio- 

 nale Funktion von x sein. Es reduziert sich also /"(./', /y) auf ein Polynom. 

 Die Koeffizienten dieses Polynoms müssen natürlich rational sein. 



Anmerkung: Die Voraussetzungen des Satzes 22, daß k eine Ver- 

 teilungsdichte ^ und die Klassen A" {x) gleichmäßig Verteilungsdichten 

 >• haben, sind nötige 



In der Tat zeigt das Beispiel /(./',?/) = ^ , dafs es nicht hinreicht vor- 

 auszusetzen, dafs alle Klassen k [x) Verteilungsdichten ^0 haben, wenn 

 das nicht gleichmäfaig geschieht, selbst wenn A" eine Verteilungsdichte ^ 



hat. Jede Klasse k [x] hat hier die Verteilungsdichte , während A" die 

 Dichte 1 hat. 



Weiter zeigt das Beispiel /' (r, yy) = V 2.2*'^ -|- 1 ■ P (/y), wo P[y) ein 

 ganzzahliges Polynom ist, dafa es nicht hinreicht, dafe die Klassen k [x) 

 gleichmäßig Verteilungsdichten > haben, falls A; nur eine verschwindende 

 Dichte hat. Jede Klasse k[x] hat ja hier die Dichte 1. 



Satz 23. Es sei 



V p— 1 \ \ (x //) 



fix, y, z) = Aq [x, y) .-^i -f Ai {x, y) z '' H ^ -^p (^> V) + "-^^^^-V"— + ■ -, 



wobei p und q ganze positire Zalilen bedeuten und Aq^Ai,... solche 

 Funktionen sind, die in der im ^atze 22 eruriJinten Weise eniivickelt 

 tverden können. Es ivird hierbei vor ausgesetzt, daß die x-, die y- und 

 die z-Ebene so aufgeschnitten sind, daß die vorkommenden gebrochenen 

 Potenzen von x, y und z eindeutig bestimmt sind. Die Reihe soll für 

 jedes solche Tripel [x, y, z) Jconvergieren, daß \x\^ a, y ^ Y und \z\^ Z 

 ist, lüobei Y eine positive Größe ist, die von x, und Z eine positive 

 Größe ist, die von x und y abhänge)} kann. 



^ D.h. sie können nicht vernachlässigt, vielleicht aber geschwächt, werden. 



