I92I.N0. ï"j. VERTEILUNGEN GANZZAHLlGERLÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN 3I 



ht dann fix, \j, z] eine gauzs Zahl für alle Tripel [x, y, s), die ziv 

 einer Klasse K vo)i Tripeln mit den Eigenschaften, 1), 2) und 3) {Siehe 

 Seite 6) gehören^, so muß f{x,y,z) ein Polyiiom sein mit rationcden 

 Koeffizienten. 



Beweis: Da die Zahlen z in ];{.r,y) eine \'erteilungsdichte > — 



haben, muß für jedes x in Ä" und // in h [x] (Satz 10) f{x, y, z) eine ganze 



rationale P'unktion von ^ sein. Es sei n 



Dann können wir 



f{x, y, i) in der Form -^o (•''» //) ~" + " " • + -^ni^, y) schreiben. Wird die 

 Zahlenreihe in Intervalle, jedes aus m{n + 1) Zahlen bestehend, geteilt, so 

 gibt es in unendlich vielen unter ihnen (Satz 3) )i + 1 Zahlen z^ . . . z^+i 



I ~" 1 I 



in k {x, //). Wenn D die Determinante .... ist, erhält man wie 



:^^ ... 1 1 



im Satze 22, dafs jede Größe D Ar [x, y) {r = 0, 1, . , ., //) eine ganze Zahl 



sein m.uf3. Die Zahlen D sind wieder absolut < (;^M'^ + 1') ' > können 

 aber für die verschiedenen Wahlen von Zi . . . Zn+\ verschieden sein. 

 Wenn d ihr größter gemeinschaftlicher Divisor bedeutet, mufa wieder 



d Ar{x, y) (r = 0, 1 n) ganz sein. Die Zahlen d können hier für die 



verschiedenen Paare (x, y) \x zu Ä" und // zu k (.r) gehörig) verschieden 



sein; jedenfalls ist aber // <^{m{n +1)) ' , und sie haben folglich alle 

 ein kleinstes gemeinschafdiches Multiplum J. Dann is^ J • Aj. {x, y]{r=0, 

 1. . . ., n) eine ganze Zahl für jedes x in k und jedes // in k (x). Da aber 

 diese Paare eine Klasse mit den Eigenschaften 1) und 2) ist (Seite 5), 

 müssen nach Satz 22 diese Funktionen J Aj-{x, y) Polynome sein mit ratio- 

 nalen Koeffizienten. Es sind also auch die Aj.{x,y) solche Polynome, 

 wodurch die Behauptung bewiesen ist. 



Es ist ganz klar, wie man analoge Sätze für mehrere \'ariablen auf- 

 stellen kann. 



Satz 24. Es sei die Gleichung gegeben 



s" + .li (X, ij) ^"-^ H h ^Jn {x, y) = 0, 



tvorin A-^ . ■ ■ Jn eindeutige analytische Funktionen von x and y sind^ 

 die nach fallenden ganzen Potenzen von y entivickelt werden können mit 

 Koeffizienten, die nach fallenden ganzen Potenzen von x entivickelt 

 werden können. Die letzteren Entwicklungen der Koeffizientfunktionen 



1 Außerdem natürlich immer x '^a, y ^Y und z ^Z für alle 

 Tripel x, y, Z in K. 



