TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



von Ai{x, u) scie)! konrcrgoif, ivoni \x', ^ci,,<lt<' Jùitiuirlclniifj fin- A,(x, y) 

 selbst sei konrcrgeiif, wenn ziußdch \y\'^ Yi(x) ist. Es .sei weiter min- 

 destens eine der Wurzeln z ganz, so oft das Paar {x, y) su einer Klause 

 K von Paaren mit den Eigenschaften 1) und ^) gehört. Dann gibt es 

 ein Polynom P{x, y) mit rationalen Koeffizienten, so daß die Gleichung 

 identisch in bezug auf x und y befriedigt wird, ivenn man z= P{x, y) setzt. 



Beweis: Wenn x >■ alle '^', und /y > alle 1', (x), so sind alle Funk- 

 tionen Ai{x,y) regulär, und jede Wurzel z der Gleichung bleibt endlich. 

 Zwei oder mehr Wurzeln können nur dann gleich werden, wenn die Dis- 

 kriminante D [x, y) der Gleichung Null ist. Außerdem sieht man aus der 

 Entwicklung von D {x, y) nach fallenden Potenzen von //, dafa bei gege- 

 benem X die endlichen Wurzeln y der Gleichung D {x, y) = ihrem abso- 

 luten Werte nach eine obere Grenze V [x] haben müssen. 



Da D [x, y) nach fallenden Potenzen von y entwickelt werden kann 



D {T, y) = 1), ix) !/ + D, ix) y"-' -\ . 



konvergent für x '^ alle f/, und y ^ alle y,{x], so sieht man, dafe y 

 nur dann unendlich werden kann in der Gleichung D [x, y) = 0, wenn D^ (x) 

 = ist, und folglich müssen die endlichen Werte von x, für welche eine 

 Wurzel y der Gleichung D [x, y) ^ unendlich wird, absolut genommen 

 eine obere Grenze a^ haben. 



Es sei B der Bereich, der aus allen Paaren {x, y) besteht, worin x ^ 

 alle f/, und a' und ebenso y ^ alle Y,{x) und Y' {x) sind. Dann mufe 

 jede Wurzel z der gegebenen Gleichung überall regulär sein innerhalb B 

 und auch eindeutig, wenn sowohl die x- wie die y-Ebene längs der nega- 

 tiven reellen Axe aufgescluijtten werden. Die Wurzel ^ besitzt folglich 

 eine Entwicklung 



^ = Co(rr)i/? + Ci(./)//V+..., 



wo jede der Funktionen C wieder eine Entwicklung der Form 



C{X) = OqX^ -{- Ol X ^ + • • • 



hat, wobei diese Entwicklungen konvergent sein müssen für alle Paare 



{x, y) innerhalb ß und \x und ^y verhalten sich eindeutig bei der er- 

 wähnten Aufschneidung. 



Die n Wurzeln z können ^i . . . ^n heifàen. Es sei Kr[v^ 1, 2, . ., n) 

 die Unterklasse von K, für deren Zahlenpaare [x, y) eben die Wurzel Zv 

 ganz ist. Nach Satz 4 muß dann mindestens eine der Klassen Ä'j- eine 

 Unterklasse K'^. mit den Eigenschaften 1) und 2) haben. Diejenigen Paare 



