I92I.N0. 17- VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 33 



a:, y in K^., die dem Bereiche B angehören, bilden eine Unterklasse £',. , 

 die augenscheinlich wieder die Eigenschaften 1) und 2) hat. Nach Satz 22 

 mufa folglich eine der Wurzeln ^ eine ganze rationale Funktion von x und 

 II sein mit rationalen Koeffizienten. 



Satz '21 kann auch in der folgenden einfacheren Weise bewiesen 

 werden. 



Es sei X eine Zahl der Klasse A" (Siehe Seite 5). Dann hat die 

 Klasse k (x\ eine Dichte > 0, und da s ganz sein soll für dieses x für 

 jedes y in k {x), so muß nach Satz 11 eine ganze rationale Funktion P{y\ 

 von y existieren, so dafa z^ Piy) die gegebene Gleichung identisch in 

 // befriedigt, während die Koeffizienten von P\y] Funktionen von x sind, 

 die für jedes x in k rational sind. P {y\ hat höchstens einen Grad, den 

 man mit Hilfe der Gleichung leicht angeben kann. Wir können deshalb 

 für jedes x setzen 



P i^) = î'o y^ + «1 y~^ + h 2t,. 



wo Xq ■ ■ ■ '(i Funktionen von x sind. Durch Einsetzen von -r^=P(//l 

 bekommt man ein System (gewöhnlich sogar eine unendliche Reihe) von 



Gleichungen zwischen x und «q ?<i, ganz rational in Hq, . . ., //1. Es 



soll weiter unten nachgewiesen werden, dafa wir voraussetzen können, dafe 

 darunter / 4" ^ unabhängige vorhanden sind. 



Da die Klassen k (r) gleichmäßig \'erteilungsdichten > haben, erhalten 

 wir genau in derselben Weise wie beim Beweise von Satz 22, dafa Uq .. Ki 

 für alle x in k einen endlichen Hauptnenner X haben müssen. Aufaerdem 

 sind ((0 ■ • • f(\ niit x durch l -\- l unabhängige Gleichungen, ganz rational 

 in bezug auf Uq . . . Ui, verknüpft. Nach Satz 16' müssen dann / 4- 1 Pölv- 

 nome Qoix), . .., Qi i') mit rationalen Koeffizienten existieren, welche bezw. 

 statt //0, . . -, Kl eingesetzt alle Gleichungen zwischen x, Uq,.... hi iden- 

 tisch in X befriedigen. Hierdurch wird aber P{y) eine ganze rationale 

 Funktion von x und //, P{x, y), mit rationalen Koeffizienten, und i = P{.r,y) 

 befriedigt die gegebene Gleichung identisch in x und //. 



Gäbe es nicht so viele als I -\- l unabhängige Gleichungen zwischen 

 X, Kq. . . ., n\, so könnte man bei beliebigem x eine oder mehrere der Größen 

 iiQ....,i(i beliebig wählen, z.B. gleich Null setzen. Dann müßten aber 

 wieder die übrigen dieser Größen rational sein für jedes x in k, und man 

 könnte genau dieselbe Betrachtung wie oben anstellen mit demselben 

 Ergebnis. 



Satz 25. E.-i sei die Gleichuiiy yeyeh.tn 



u"" + Ji [X. //. 2) //" -' H h '^n (r, y, z) = 0, 



Vid.-Selsk. Skrifter. I. .M.-N. Kl. 1921. No. 17. 3 



