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7vorin Ai... A^ eindeutifje analytisdte FniildioiKm roii x, ij und z sind, 

 die nach fedtenden Potoizen ron z cnftuickelt luerden können mit Koeffi- 

 zienten, die Funktionen von x und y sind, icelche nacJi fallenden Poten- 

 zen von y entwickelt iverden können mit Koeffizienten, die Funktionen 

 ron X sind, ivelche nach fallenden Potenzen von x entwickelt werde)i 

 können. Es seien die Entivicklungen nach x allein konveryent, wenn 

 \x\'^ai {der Index i bezieht sich auf Ai {x,y, z)), die Entivicklungen 

 nach X und y konvergent, wenn zugleich \y\'^ Yi[x), und endlich din 

 Entwicklung nach x,y und z von Ai{x,y,z) konvergent, wenn zugleich 

 \z\^ Zi {x, y) ist. Es sei weiter mindestens eine der Wurzeln u ganz, 

 so oft {x, y, z) ein Tripel einer Klaxse K ron Tripeln mit den Eige).- 

 schaften i), 2) und S) ist. {Seite •>). Dann gibt es ein solches Poly- 

 nom P{x,y,z) mit rationalen Koeffizienten, daß u = P (x,y, z) die Glei- 

 chung ide)itisch in x,y,z befriedigt. 



Beweis: Wenn 1^| >■ alle f^, |.vi> alle î'Jj^) und z '^ a.\\e Zjx, y), 

 so sind alle Funktionen ^l,(./', //, --) regulär, und jede Wurzel a bleibt end- 

 lich. Zwei oder mehr Wurzeln /( können nur dann gleich werden, wenn 

 die Diskriminante D {x, y, z) der Gleichung verschwindet. Nun läfst sich 

 jede Wurzel z der Gleichung D {.r, y, i) -= nach fallenden ganzen oder 

 gebrochenen Potenzen von // entwickeln mit Funktionen von x als Koeffi- 

 zienten, die wieder nach fallenden ganzen oder gebrochenen Potenzen von 

 X entwickelt werden können, wobei diese letzteren Entwicklungen alle kon- 

 vergieren, wenn \x\ ^ a' ist. Für jedes solche ./■ gibt es eine obere Grenze 

 der absoluten Werte der endlichen //, für welche ein z der Gleichung 

 Z) (a:, //, ^;) = unendlich wird; es sei V [x] diese Grenze. Da aber auch 

 D {f, y, z) nach fallenden ganzen Potenzen von ./', //, z entwickelt werden 

 kann, müssen bei gegebenen x und // die endlichen Wurzeln z absolut 

 genommen eine obere Grenze Z' (./■, //) haben. Es sei B der Bereich, der 

 aus allen Tripeln x^y.z besteht, worin \x^^a' und alle r//, y ^ F'(.r) 

 und alle Yi{x) und \z\^ Z' \x, y) und alle Z^\x,y) ist. Dann ist jede 

 Wurzel u der gegebenen Gleichung überall regulär und eindeutig inner- 

 halb B, wenn die x-, y- und .?-Ebene längs der negativen reellen Axe auf- 

 geschnitten werden. Jede Wurzel a besitzt folglich eine Entwicklung 



u=C^[x.y\z^ ^(\[:r,ii)z m -^ , 



wo die Funktionen C wieder in derselben Weise wie f{x,y) im Satze 22 

 entwickelt werden können, wobei alle diese Reihenentwicklungen für alle 

 Tripel .r, y, z in B konvergent sein müssen, und die auftretenden gebro- 

 chenen Potenzen von x, y, z verhalten sich eindeutig bei der erwähnten 

 Aufschneidung. 



