1921. No. 17. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 35 



Die I) Wurzeln u, die also innerhalb B als i) getrennte eindeutige 

 Funktionen angesehen werden können, sollen xii, Uo, . . ., u-a heißen. Es 

 sei Kr die Unterklasse von K [v = \,2, . . ., }i), für deren Zahlentripel 

 X, y, z eben Ut' eine ganze Zahl ist. Nach Satz 5 mufe dann mindestens 

 eine der Klassen Kr eine Unterklasse 1\,, mit den Eigenschaften 1), 2) und 

 3) haben. Diejenigen Tripel {x^y,s) in K^, die dem Bereiche B ange- 

 hören, bilden eine Unterklasse K ^., die augenscheinlich wieder die Eigen- 

 schaften 1 ), 2) und 3) hat. Nach Satz 23 mufe folglich die Wurzel iiv 

 eine ganze rationale Funktion von r, y und z sein mit rationalen Koeffizienten. 



Natürlich läfet sich auch für Satz 25 ein dem zweiten Beweis für 

 Satz 24 entsprechender Beweis aufstellen. 



In ganz analoger Weise können entsprechende Sätze für mehrere 

 Variabein bewiesen werden. 



Satz 26. E>' sei die Gleidmny 



H[x,y,z) = 



gegebe», wo R ein ganzzahliges Polynom ist. 1st dann mindestens eine 

 Wurzel z ganz für jedes Paar [x, y) in einer Klasse K mit den Eigen- 

 schaften 1) und 2\ so gibt es ein Polynom P{x, y) mit rationalen Koeffi- 

 zienten, das statt z eingesetzt die Gleichung identisch befriedigt. 



Dieser Satz ist ja ein Spezialfall von Satz 24. 



Satz 27. Es sei die Gleichung gegeben 



H {x, y, z, ?<) == 0. 



wo H ein ganzzahliges Polynom ist. Es sei eine Wurzel u ganz für 

 jedes Tripel einer Klasse K mit der Eigenschaften 1), ä) und 3). Dann 

 gibt es ein Polynom P{x,y,z) mit rationalen Koeffizienten, das statt u 

 eingesetzt die GleicTiung identisch befriedigt 



Dies ist ja ein bloßes Korollar von Satz 25. 



Genau analoge Sätze gelten natürlich für mehrere Variabein. 



Satz 28. Es sei ivieder die Gleichung 



H{x,y,z) = 



gegeben : es iverde aber jetzt vorausgesetzt, daß für jedes Paar {x, y) der 

 Klasse K mit den Eigenschaften 1) und 2) mindesten v der Wurzeln z 

 ganze Zahlen sind. Dann gibt es v Polynome P^ {x, y), . . ., Pv{x, y) mit 

 rationalen Koeffizienten, die statt z eingesetzt die Gleichung identisch 

 befriedige)). 



Beweis durch Induktion : Die Behauptung ist richtig für v = 1 (Satz 

 26). Ich setze ihre Gültigkeit für v — 1 voraus und beweise sie für v. 



