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Nach Satz 2H gibt es jedenfalls ein Polynom J\{x,ii) mit rationalen 

 Koeffizienten so beschaffen, daij // (.r, ;/, /\ {x, //)) identisch verschwindet. 

 Man i<ann dann in JI (.1, ;/, ,c) den vorkommenden Linearfaktor in bezug 

 auf z, z — 1\ [x, 11), wegdividiren, wodurch eine Gleichung 



7/1 {X, //, i) -- 

 erhalten wird. Da für jedes Paar [x, y) in A' mindestens r der Wurzeln 

 z der Gleichung // ganz sein sollen, müssen mindestens v — 1 der 

 Wurzeln der Gleichung //] ^^ ganz sein. Es gibt also nach der An- 

 nahme V — 1 Polynome 1\ {'',//), . . ., Pr {x, //], so daf3 die Gleichungen 

 //1 (x, 1/, i'j, (.r, //» = 0, . . ., Ill (x, !/, Pr [x, //)) = Identitäten sind. Es sind 

 also auch // ('■, //, P^ (x, //)). . . . II [x, }/, Pr [x, //)) identisch Null ebenso 

 wie H{x, ij, l\ (.'■, //)). 



Analoges läßt sich für mehrere \^ariabeln beweisen. 



Satz 29. Ex sei ein Sysfrm ron 11 iui(ih/iii)ifjif/e}i GU-icInDif/en 



Hl {X, il, Zi, • • -, ^n) = 0, • • • , JJn{x, il, Zu ■ • -, 2n) = 



gegeben, worin H^ . . . H^ ganzzaldige Polynome sind. Es sei für alle 

 Paare [x, y) einer Klasse K mit den Eigenschaften 1) und 2) mindestens 

 ein Wurzelsystem z^ . . . ^n ganzzahlig. Dann gibt es n Polynome Pi{x,y), 

 . . ., Pn {x, il), SO daß Zi "- Pi (x, //), . . ., ^u = Pn {^, //) die Gleichungen 

 iden tiscJi befriedigen . 



Beweis: Die n Gleichungen bestimmen .'i . . . z^ als n Funktionen von 

 x und //, für welche Reihenentwicklungen der im Satze 22 für f(x,y) an- 

 gegebenen Form gelten. Da nur eine endliche Zahl von Wurzelsystemen 

 Zi . . . ?n existieren, gibt es nach Satz 4 eine Unterklasse K' von K, die 

 wieder die Eigenschaften 1) und 2) hat, und für deren Paare (x. y] eben 

 ein bestimmtes der Wurzelsysteme ganzzahlig ist. Nach 22 müssen aber 

 dann die Zahlen z-^ . . . z^. dieses Wurzelsystems Polynome P^ (•/", '/), . . ., 

 Pn {x, y) mit rationalen Koeffizienten sein. 



Man kann auch den folgenden allgemeineren Satz aufstellen, dem 

 Satze 16' entsprechend. 



Satz 29'. Es seien die n unabhängigen Gleichungen 

 Hi=0 ■ ' ■ /4=0 

 gegeben, loorin Hi . . . H^ ganze rationale Funktionen von z^ . . . Zj^ .<ind, 

 deren Koeffizienten eindeutige anah/tiscJie Punktionen von x und y von 

 der im Satze 24 encäJnitcn Art si)id. Weiter sei für alle Paare x, y 

 einer Klasse K von Paaren mit den Eigenschaften 1) und 2) mindestens 

 eine Wurzelkombination z^ . . . z^ gans^ahlig. Dann gibt es n Polynotne 

 mit rationalen Koeffizienten Pi [x, y) . . . Pn {x, y), welche bezic. statt Zi 

 . . . Za. eingesetzt die Gleichungen identisch befriedigen. 



