I92I.N0. IJ. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 37 



Der Beweis kann entweder analog dem Beweise für Satz 29 oder auch 

 mit Hilfe des Satzes 16' analog dem zweiten Beweise des Satzes 24. Ich 

 gebe hier kurz den letzteren. 



Beweis: Es sei x eine Zahl der Klasse k. Da A' (./) eine Dichte !> 

 hat, und mindestens eine Kombination ^i . . . z^ ganzzahlig sein soll für das 

 gewählte x und jedes // in k {x), müssen nach Satz 16' )i Polynome P^ (//), 

 . . ., P-a dl) existieren, deren Koeffizienten Funktionen von ./; sind, welche 

 für jedes x in k rational sind, während sie bezw. statt z^ . . . z^ eingesetzt 

 alle n Gleichungen identisch in // befriedigen. Man kann folglich setzen 



WO \ . ■ J-a durch die }} Gleichungen bestimmte Zahlen sind. Da aie 

 Klassen k [x] gleichmäßig X'erteilungsdichten > haben, bekommt man wie 

 früher, daß u,y,, '(-i.,, . . ., ;<i ,, (?' = 1,2,..., r/) für alle x in k einen end- 

 lichen Hauptnenner haben müssen. Durch Einsetzen von Zi = Pi (?/).. . 

 Zn = Pn (.'/) in die Gleichungen Bi ^^ 0, . . ., H^ = bekommt man eine 

 Reihe von Gleichungen zwischen x und den Größen «, und diese Glei- 

 chungen sind ganz rational in bezug auf die u. Nach 16' müssen folglich 



'i + 1 + ^2 + 1 H h 'n + 1 solche Polynome (^„.i \x], . . ., Qi^.x {x\, . . ., 



Qo.-a.{^), • • • Q\^.\\\x) mit rationalen Koeffizienten existieren, dafa sie bezw. 

 statt ^0. 1 ■ • • ^'1q. n eingesetzt alle zuletzt erwähnten Gleichungen identisch 

 in X befriedigen. Es sind aber dann 



Pl [X, >J) = Qy, 1 {X\ //'' H h Qk 1 U I. • ■ -, ^n {.'•, >j) = (h n .V'" + • • • + ^l^, Åx) 



Polynome mit rationalen Koeffizienten, welche statt z^ . . . in in die Glei- 

 chungen Hl = 0, . . ., Hn = eingesetzt diese identisch in bezug auf ^^ und 

 // befriedigen. 



Analoge Sätze können natürlich wieder für eine größere Zahl unab- 

 hängiger \'ariabeln bewiesen werden. 



Satz 30. Es sei die Gleichung 



H{x,y,z)==0 



gegeben, wo H ein Polgnom ist mit Koeffizienten in einem algehrai^^chen 

 Zahlkörper R. Es sei für jedes Paar {x, g) einer Klasse K von Paare)} 

 mit den Eigenschaften 1) und .?) mindestens eine Wurzel z der Gleichung 

 'ini' ga)ize Zahl in R. Dann gibt es ein Polgnom P{x,g) mit Koef- 

 fiîicntoi in R, so daß H {x, g, P{x, g)) identisch Xull ist. 



Beweis: Es sei lo^, . . ., ^Jq eine Basis der ganzen Zahlen in R. Für 

 jedes Paar {r, g) in K ist dann mindestens eine Wurzel z von der Form 

 -"i (t>i -|- Zo lüo -\- • • ■ -\- z^ On, wo Zi . . . z-a. ganze rationale Zahlen sind. 



