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Wird dies in die Gleichung eingesetzt, spaltet sie sich bekanntlich in n 

 simultane Gleichungen der Form 



wo 7/1, • • -, //„ Polynome mit absolut rationalen Koeffizienten sind, und 

 hier ist also ein Wurzels^'stem «î*!, . . ., .?,, rational ganzzahlig, so oft ./' und 

 // ein Paar in K bilden. Nach Satz 29 müssen deshalb ;/ Polynome 

 I\{.T, ij), . . ., I\[x, tj) mit absolut rationalen Koeffizienten existieren, so 

 dafs die ;/ Gleichungen zu Identitäten werden, wenn man ii =^ I\{'', /j), 

 . . ., ^n ^ ^n {x, //) setzt. Das bedeutet aber augenscheinlich, dafa die ge- 

 gebene Gleichung ll[x,ij,:) ^= identisch befriedigt wird, wenn man 



Z - ]\ \X, Ij] (Ol -\- ■ ■ • -\- Pn [X, Ij) (')n setzt 



Eine Verallgemeinerung hiervon ist der folgende Satz: 



Satz 31. Ea sei das Sy.sfc»} ro)/ m unnbhn)ifjigen Gh'ichungen 



Hx [X, y, ^"l, ■ • -, ^m) = 0, • • • , Hm [-^, il, Zi,---,Zm) = ^ 



fjcgeboi, ivoriu Hi . . . H^ Polynome sind mit Koeffizienten in einem 

 akjebraiscJie)! Zahlköyper R. Es bestehe für jedes Paar {x, y) in einer 

 Klasse K mit den EiyoiscJiafteji 1) und ^) mindestens ein Wurzelsystem 

 ■'■i,---, ^m >)u>' ((US ganzen ZaJdcn in E. Dann gibt es m Polynome 

 ^\ {•^'5 y)^ ' • •> -f*m (■^', y) mit Koeffiziente)i in R so bescltaffCn, daß die m 

 UleicJiungen identisch in x und g befriedigt werden, we}in man z^ = 

 Px [x, y),..., ,?n. = Pm [oc, y) setzt. 



Beweis: Es sei uji, . . ., vjn eine Basis der ganzen Zahlen in R. Wenn 

 .'■ und // ein Paar in K bilden, sollen die Gleichungen befriedigt werden, 

 wenn z,- ■= Zy^ 1 wi + •••-)- ^r, n (o^ {'' ^ ',-,■••. »>) gesetzt wird, wobei 

 alle m n Größen Zr, s ganz rational sind. Werden diese Ausdrücke für ^^ 

 in die m Gleichungen eingesetzt, spaltet sich jede von diesen in n Glei- 

 chungen, so dafa man ein System von i)i n Gleichungen zwischen x, g und 

 den mn Gröfaen /r, s erhält. Da nun für jedes Paar (•'',//) in K minde- 

 stens ein Wurzelsystem fr, s dieser Gleichungen nur aus ganzen rationalen 

 Zahlen besteht, so gibt es nach Satz 29 ))i )i Polynome Pr, s [x, y) niit ab- 

 solut rationalen Koeffizienten, so dafs das System der m n Gleichungen iden- 

 tisch befriedigt wird, wenn man ^r, s = ^r, s (•'"» .^/) setzt. Dann werden aber 

 augenscheinlich die m gegebenen Gleichungen Identitäten in bezug auf x 

 und //, wenn z^ = Pr, 1 {r, y) co-^ -\- • • • + Pr,n (■'■. y) m^. {r -= 1,2,..., m) 

 gesetzt wird. 



Ähnliche Sätze gelten für mehrere V'ariabeln. 



Satz 32. Es sei 



F{x, y, z) = ^" + A, [X, y] i'-' + • . • + J, [x, //), 



