I 92 1 . No. 17. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 39 



WO >? >> i u^^'^ .-il... A-a, Polynome sind mit ganzen rationalen Koef- 

 pzienten, eine irreduktihle Funktion von z innerhalb des Körpers L, der 

 aus allen rationalen Funktionen von x und y mit rationalen Koef- 

 fizienten besteht. Die Klasse K der Paare gimer rationaler Zahlen 

 ( /•, y), für welche die übrig bleibende Funktion von z reduktihel im )mtür- 

 lichen Rationalitätsbereich ist, kann dann keine Unterklasse mit den 

 Eigenschaften 1) und 2) haben. — Ich beweise die Behauptung in umge- 

 kehrter Form: Falls eine solche Klasse K mit den Eigenschaften 1) und 

 2| existiert, mufà F (x, y, z) innerhalb L reduktibel sein. 



Beweis: Soll F[x,y,:) für irgend ein Paar x, y reduktibel in bezug 

 auf i werden, so mufà eine Identität in z der Form 



~^" + --Î1 1^, y) --"-' -h • • • + ^^n \æ, y) = (.-• + «1 z'-' + • . • + a,) 



Stattfinden. Da ^i . . . .^n immer ganze rationale Zahlen sind, wenn .'• und 

 // ganz rational sind, müssen bekanntlich auch cq, . . ., ar, ßi, .... ■;in-i ganze 

 rationale Zahlen sein- Gibt es nun eine Klasse Ä' von Paaren (x, ;/) mit 

 den Eigenschaften 1) und 2), so dafe für jedes dieser Paare F[x,y,z) 



reduktibel in bezug auf z ist, so mu& (Satz 41, wenn Ä'/(j' = 2,3 n — 1) 



diejenige Unterklasse von K bezeichnet, für deren Zahlenpaare eben eine 

 Reduktibilität in zwei Faktoren der Grade v und n — v stattfindet, minde- 

 stens eine der Klassen Kr eine Unterklasse Ä',. mit den Eigenschaften 1) 

 und 2) haben. Weiter müssen die Gleichungen 



f^l + /^1 = -^1 \X, !j), «1 /^1 + «2 + ,^2 = -^2 (•>% y), , ar ßn-r =- A^ {x, y) 



bestehen. Sie sind von der im Satze 29 erwähnten Form und müssen für 

 jedes Paar \x, y) in K'^. für ein System ganzer Zahlen ai . . . cn- ßx . . . ßxi-r 

 erfüllt sein. Nach Satz 29 gibt es dann n Polynome mit rationalen Koef- 

 fizienten Pi \x,y\, . . ., Pn{x,y), so dafà die )i Gleichungen identisch befrie- 

 digt werden, wenn ai = P^ {x, y), . . ., av = /*»■ (x, //), ßi = Pt+i {x, y), . . ., 

 ßn-r — Pn{'', .'/) gcsctzt werden. Dadurch wird aber die Gleichung 



.?^ + Ji (x,y)z'' ' + ... ^ A^ (./■,//) = (i'- -r- A {x.y]z^-' + -'- + Pr{x,ij)) 



(.n-r ^ p,,_ ^ ,^_ ,,^ ^n-r-i ^ \- P^{x, y)) 



eine Identität in ./, // und z; d.h. F{x,y,z) ist eine reduktible] Funktion 

 von z innerhalb L. 



Satz 33. Es sei K^ dir Klasse der Paare ganzer rationaler Zahlen 

 X. y, für welche das Polynom 



