40 TH. SKOLEM, M. N. Kl. 



/''(,r, //, .-) = ^" -h Ji {X, //) i"- ' -+- \- A,, [X, ij), 



dessen Kocf/i.iicnlrn f/au'.r Z/ililen eines (ih/rhraischrn Z(ilill:oip<;rs R 

 sind, redaktihci in Ix'zwi nuf z im Körper il irird. JJal drnni K^ eiue 

 Unterklasse K mit den Eiijenschafien 1) und ^), so muß F{x,i/,z) eine 

 reduktible Funktion von z sein inverhall) des Körpers L, der aus allen 

 rationalen Funktionen ron x und ij mit Koeffizienten in R besteht. 

 Beweis: Wenn F{x,i/,.i) für ein Paar (./■,//) recluktibel in bezug auf 

 z ist, gibt es eine Identität in z der P^orm 



^" + J, {X, //) s"-' + . . . + .4, [x, !j) = {i^ + «1 ^*'-' + . . . + a^) 



Da Ji . . . -In immer ganze Zahlen in // sind, wenn x und // ganz ratio- 

 nal sind, so müssen bekanntlich auch rq . . . ro', lii . . ■ ßn-r ganze alge- 

 braische Zahlen sein und folglich auch ganze Zahlen in H. Es sei Kr 

 die Unterklasse von /.', für deren Paare (./', //) eine Reduktibilität mit den 

 Graden v und )i — v der traktoren stattfindet. Nach Satz 4 mufe dann 

 mindestens eine der Klassen Kr eine Unterklasse A.^, mit den Eigenschaften 

 1) und 2) haben. Aufserdem gelten die Gleichungen 



«1 + /^1 = --il {X, y), CCi ßx + «2 + Ih = A., (X, Ijl ■ • ■ -, nr ßn-r = A^ {x, IJ), 



welche von der im Satze 31 erwähnten P'orm sind. Da sie für jedes Paar 

 {x, y) in Kr erfüllt sind, wenn u\ . . . ur, ß\ . . . ßn-r gewisse ganze Zahlen 

 in R sind, gibt es nach Satz 31 )i Polynome F^ {Xj y), . . ., P^i-^, y) mit 

 Koeffizienten in R, so dafs die n Gleichungen identisch befriedigt werden, 

 wenn man «i = P^ {.r, ij), . . ., ur ^ Fr [x, y), ß^ = Fr+\{.r, //), . . ., ßn-r= 

 Fn {x, y) setzt. Dadurch wird aber wieder F{x, y, z) augenscheinlich re- 

 duktibel im Körper L. 



In genau derselben Weise wie wir früher Satz 21 mit Hilfe von Satz 

 20 bewiesen haben, läßt sich hier der folgende Satz mit Hilfe von Satz 

 33 beweisen : 



Satz 34. Es sei K^ die Klasse dor Paare ganzer rationaler Zahlen 

 [x, y), für tvelche die ganze rationale Funktion 



F{x, y, z) = .4o {X, y) ^" + .^i [x, y) s'^ -' + ... + J^ (x, y), 



deren Koeffizienten ganze Zahlen eines Körpers R sind, reduktibcl in 

 bezug auf z im Körper R ist. Kat dann Kq eine Unterklasse K mit 

 den Eigenschaften 1) und ^), so id F{x,y,z) reduktihel in bezug auf z 

 im Körper L, der aus allen rationalen Funktionen von x und y mit 

 Koeffizienten in R besteht. 



