I92I No. 17- VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 4I 



Analoge Sätze lassen sich natürlich für mehrere unabhängige \'ariabeln 

 beweisen. 



Satz 35. Es svi K die Klasse der ganzen rationalen Zahlen x, für 

 ivelche das Polynom F[x,y,z), das ganze Koeffizienten in einem algi- 

 braischen Körper R hat, eine reduktible Funktion von z ist im Körper 

 Ly, der aus allen rationalen Funktionen von y mit Koefjizienten in B 

 besteht. Hat dann K eine Verteilungsdichte > (>, muß F{x,y,z) eine 

 reduktible Funktion von z sein im Körper X^y, der aus allen rationalen 

 Funktionen von x und y besteht mit Koeffizienten in R. 



Beweis: Hat nämlich Ä' eine \'erteilungsdichte ^0, so hat die Klasse 

 Ä' von Paaren, die aus allen Paaren [x, y\, wo x eine Zahl in Ä' und y 

 eine beliebige ganze rationale Zahl ist, besteht, die Eigenschatten l)und2). 

 Außerdem wird augenscheinlich F{x,y,z) eine reduktible Funktion von z 

 im Körper R für jedes Paar (./', y) in Â'. Nach Satz 34 mufe also F[x,y,2) 

 eine reduktible Funktion von z sein innerhalb L^y. 



Auch dieser Satz läfet sich natürlich verallgemeinern. Der allgemeinste 

 Satz über Reduktibilitäten, den man in dieser Weise gewinnen kann, lautet 

 folgendermafeen : 



Es sei K eine Klasse von Komplexen ga)izer rationaler Zahlen, 

 jedes aus m ZaJtlen j\ . . . j'ia. bestehend. Es sei k die Klasse der in 

 diesen Komplexe)i vorliandenoi Zahlen Xy, k{xi) die Klasse der x^, 

 welche mit Xi zusammen in den Komplexen vorkommen, k{xi,X2) die 

 Klasse der ./■■^. welclie mit Xi und x^ zusammen in den Komplexen vor- 

 kommen, usiv. Außerdem habe k eine Verteikingsdichte^O, die Klassen 

 k{x-^ gleichmäßig Y erteilungsdichten >> 6», ebenso die k {x^, .To) gleichmäßig 

 Verteilungsdichte)} ^ 0, usu\ Weiter sei F{xy... x^a, y\ • • ■ yn-i, yn) 

 eine ganze rationale Funktion von m -\- n Variabein mit Koeffizienten 

 in einem algebraischen Zaldkörper R. Ist dann für jedes Zahlenkomplex 

 [Xi . . . J"m) in K die Funktion F reduktibel in bezug auf yn im Körper 

 L [y\, . ■ -, ^n-i), der aus allen ratio)ialen Funktionen von y\. . . yn-i >iiif 

 Koeffizienten in R bestellt, so ist F eine reduktible Funktion von y^ im 

 Körper L {.x\ . . . ./ m, i/i . • • ^n-i), der aus allen rationalen Fmiktionen 

 von .i\ . . . Tm, //i . . . ^n_i mit Koeffizienten in R besteht. 



Der Satz ist in der Tat für n = l nur eine Verallgemeinerung des 

 Satzes 34, und wenn soviel bewiesen ist, lälat sich der Fall )i ^ 1 darauf 

 zurückführen mit Hilfe einer genau analogen Betrachtung wie die oben 

 beim Beweise des Satzes 35 angestellte. 



