42 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



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Über einige Verschärfungen der im Vorhergehenden bewiesenen 



Sätze, u. a. eine Klasse von Gleichungen mit zwei Unbekannten, 



welche nur endlich viele Lösungen in ganzen rationalen 



Zahlen haben. 



Die in den vorhergehenden Paragraphen bewiesenen Sätze gestatten 

 unzweifelhaft in ausgedehntem Make N'erschärfungen. Solche verschärften 

 Sätze werden wohl aber größtenteils bedeutend schwerer zu beweisen sein. 

 Es gibt aber einige ziemlich umfassende Fälle, da ein solche Verschärfung 

 leicht gelingt. Ich will im folgenden ein Paar solche Fälle zeigen. 



Satz 3(). Es sei die Ii eilte 



konvergent, ivenn \x\'^R, ivährend nicht alle Koeffizienten a^, a^, ■ • ■ 

 verschiüiuden. Falls y ei)ie gcmze Zahl ist für unendlich viele ganze 

 Werte (die augenscheinlich alle positiv vorausgesetzt werden können) 



^1 < ^2 < ^3 • • • 



von x, kihinen die Quotienten 



(a^t+i — a-t) (./ 1 ^2 — ■Tt) (a:t+2 — A+i) 

 Xt •/'t + i .''r+g 



nicht Null als Häufungsstelle liaben, oder m. a. TT. für alle t ^ T sind 

 sie ^ a, iro a eine positive von t unabhängige Zahl ist. 



Beweis: Aus den Gleichungen 

 //t^i — Ut = ^'ü (Am — Xr) + n., 1- ^3 ^ ^—5 ^ -f . . . 



y,^, -y,,, = a, [x,^, - x.^,) - a, ^^'l±i:^I^À 4. ,„ ^a±lZl^à +... 



bekommt man durch Elimination von Oq 



{Xt-,^1 — ,r,) (/yt+2 — ^t+i) — {■'\+2 — .>'t+i) (//t-fi — .^t) = n.2 A'o + O3 A'3 H , 



