I92I.N0. 17- VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 45 



Sowohl die ./■ mit geradem als die ./• mit ungeradem Index müssen 

 also am wenigsten so zerstreut liegen wie die Glieder einer geometrischen 

 Reihe. Es ist klar, daß dies weit mehr aussagt, als der Satz 9 nebst An- 

 merkung, nach welchem man nur weife, dafe die .'• eine verschwindende 

 \'erteilungsdichte haben müssen. 



Satz 37. Es seien die Variahein x und y durdi eine GleirJiunr/ der 

 Form 



if + ff'i :r + ^2 +7 +• • •] //""'+ (/'1 •'•- 4-/'2 ■'■ +/>3 + • • •)>/'' + ■••- 

 + [k, X'^ + k, .r^-' +---) = 



verknÜ2)ft. ivo die Reihen in x konvergent sind für hinreichend große x, 

 nährend die Gleicliung 



z"" + fli z^-' +^1 ^''"' -{ h ^1 = 



keine mehrfache Wurzel hat. Gibt es dann kein Polgnom in x mit 

 rationalen Koeffizienten , das statt g eingesetzt die Gleichung identisch 

 befriedigt^, so müssen die ganzen Werte von x, für ivelche 7nindestens 

 eine Wurzel g ganz ist, am ivenigsten so zerstreut liegen ivie die Glieder 

 einer endlichen Zahl geometrischer Reihen. 



Beweis: Die Richtigkeit folgt sofort nach dem vorhergehenden Satze, 

 wenn man bemerkt, dafa jede Wurzelfunktion // der Gleichung eine Ent- 

 wicklung nach fallenden ganzen Potenzen von ./' besitzt, welche mit der 

 ersten positiven Potenz von .'■ anfängt. 



Eine einfache Folgerung dieses Satzes ist, wie man sofort sieht, dafe 

 die Quotienten 



t^ 



mit wachsendem t über jede Grenze wachsen müssen für jeden positiven 

 Wert von n. Satz 11 sagt dagegen nur aus, daß die Quotienten 



t 



über alle Grenzen wachsen müssen. Man sieht hieraus, wie weit schärfer 



der Satz 87 ist. 



Auf algebraische Gleichungen angewandt bekommen wir den Satz: 

 Satz 38. 1st H eine solche ganze rationale Funktion von x und y, 



daß die Gleichung 



h{\,z] = 0, 



1 Dies müfate natürlich vom ersten Grade sein. 



