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WO 11 {x, y) der höchsk' homogene Teil von H ist, mir einfache Wurzeln 

 hat, und gibt es keine lineare Funktion von x mit rationalen Koeffi- 

 zienten, welche statt y eingesetzt die Gleichung identisch befriedigt, so 

 müssen die ganzen ZaJilen x, für welche mindestens eine Wurzel y ganz 

 ist, am ivenigsten so zerstreut liegen ivie die Glieder einer endlichen 

 Zahl geometrischer Reilien. 



Satz 39. Hat ma)} n muibhängige GleicJtungen zivischen den n -\- 1 

 Variabein x, y^, . . ., y-^, ganz rational in //1 . . . //n, so beschaffen, daß 

 jede Wurzelkombination y^ . . . y^ (^us n Reihen nach fallenden ganzen 

 Potenzen von x besteht, während z. B. die Reihe für y^ immer mit x+^ 

 anfängt und sich nie auf eine lineare Funktion mit rationalen Koeffi- 

 zienten reduziert, so müssen die ganzen Zahlen x, für welcJie mindestens 

 eine Wurzelkombination ganzzahlig ist, am ivenigsten so zerstreut liegen, 

 ivie die Glieder einer endlichen Zahl geometrisclier Reihen. 



Beweis: Da die Zahl der Wurzelkombinationen endlich ist, und sie 

 für hinreichend große |j'| konsekvent unterschieden werden können, ist die 

 Richtigkeit nach dem obigen sofort klar. 



Satz 40. Hai man eine irreduktiblc algebraische Gleichung nrit 

 rationale)) Koeffizioiten 



H {.r, y) = //" + ^-Ji (^) ir' + • • • + ^^n [x] = 0, 



wo Ai{x) ein Polynom ;ten Grades ist, îvaJirend Ji {l, z) = nur einfache 

 Wurzeln hat, und die Summe von nur einigen dieser Wurzeln nicht 

 rational ist, indem h{x,y) der liöcliste Jwmogene Teil von H{x,y) ist, so 

 müssen die ganzen ZaJden x, für ivelclie H{x,y) im natürlichen Ratio- 

 nalitätsbereiche reduktibel tvird, am ivenigsten so zerstreut liegen, ivie die 

 Glieder einer endlichen ZaJil geometrischer Reihen. 

 Beweis: Setzt man 



y/^ + A, (j:) y^-' + • • • + .4^ {.r) ^ {y^ + a, y''-' + • • • + ar) 

 so bekommt man n Gleichungen zwischen .?", «i . . . ar, ßi . . ■ ,'^n->', nämlich 



Ol -f- /^1 = ^^1 («■), • • ', cxr ßn-r ^ Ar, (•'■). 



Diese Gleichungen sind sicher unabhängig; sie bestimmen nämhch «1 . . ßr\.-v 

 (allerdings endlich vieldeutig) als Funktionen von x, indem ja «i . . . uv 

 elementarsymmetrische Funktionen von gewissen v der Wurzeln y der 

 Gleichung H {x, y) = sind, während ßi . . . ßn—r elementarsymmetrische 

 Funktionen der )t — r übrigen Wurzeln sind. Da alle Wurzeln der Glei- 



