I92I.No. 17. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEx\. 47 



chung H {.r, //] eine Entwicklung nach fallenden ganzen Potenzen haben, 

 so besteht also auch jedes System zusammenhöriger Werte von cq . . , (in-r 

 aus // solchen Entwicklungen. Aufàerdem kann in den Reihen für «j und 

 /:^i kein höherer positiver Exponent als -j- l auftreten, da in den Entwick- 

 lungen der Wurzeln // kein höherer Exponent auftritt, und weil rq und .ii 

 nur Summen einiger dieser Wurzeln sind. Da die Summe von v der 

 Wurzeln der Gleichung h{\,z) = nie rational sein soll, so folgt, dafe die 

 Summe von r der Wurzeln [/ nicht ein Polynom mit rationalen Koeffi- 

 zienten sein kann. Es kann also keiner der möglichen Werte von «i 

 (oder auch ß^) ein Polynom mit rationalen Koeffizienten sein. Nach dem 

 vorigen Satze, und weil r blofe it — 1 Werte haben kann, folgt dann die 

 Richtigkeit der Behauptung. 



Es ist wiederum klar, dafe entsprechende Sätze für andere Rationa- 

 litätsbereiche als den natürlichen aufgestellt werden können. Ebenso kann 

 man einen analogen Satz für Gleichungen zwischen .>' und // aufstellen, 

 die ganz rational in bezug auf// sind; deren Koeffizienten Aj.(x) aber be- 

 liebige eindeutige analytische Funktionen von x sind, für welche x = r. 

 ein Pol .<^'^''' Ordnung, >'^r. ist — allerdings aber dann nur für Reduk- 

 tibilitäten im natürlichen Rationalitätsbereich. (Siehe die beim Satze 17 

 gemachte Bemerkung). 



Satz 41. Es sei die Gleichung gegeben 



ivori)} Ai, . . ., A-a eindeutige analytische Funktionen vo)i x sind, für 

 tceJche a; = oo entweder eine reguläre Stelle oder ein Pol ist, und die 

 Reihen nach fallenden ganzen Potenzen von x rationale Koeffizienten 

 haben, während außerdem mindestens eine der Funktionen Ay, . . ., An 

 mindestens eine Singularität im Endlichen hat, so daß sie nicht alte 

 bloße Polynome sind. Die Gleichung sei irrediiktibel^. Unter diesen 

 Voraussetzungen hat die Gleichung nur eine endliche Zahl von Lösungen 

 in ganzen rationalen Zahlen x und //. 



Beweis: Da es höchstens )i reelle unendliche Zweige der durch die 

 gegebene Gleichung dargestellten Kurve gibt, genügt es zu zeigen, dafa 

 auf einem beliebigen dieser Zweige höchstens endlich viele Gitterpunkte 

 existieren können. Auf einem solchen Zweige wird // sich wie eine Potenz 

 von ./■ mit rationalem Exponenten verhalten, d. h. es gibt eine solche ratio- 

 nale Zahl , daf3 der Quotient * für r ^ oo einen von Null verschie- 

 q E. 



x^ 

 denen endlichen Grenzwert hat. Nun haben wir 



^ Siehe die Erklärungen beim zweiten Beweis für Satz 1 1 oben. 



