I92I.N0. 17- VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 49 



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 ganz sind. Da indessen y nach fallenden Potenzen von V -^ entwickelt 



werden kann, ist dies auch mit A' (./■,//)= Cn //" + ••■ + Cn+m //""^"^ — 

 H{x,i/) der Fall. Sollte deshalb R {./, y) = sein für unendlich viele 

 ganze ./', so müfste R [r, y) identisch = sein. Da aber H höchstens 

 vom Grade n ~ l in bezug auf y ist, würde die Gleichung 



Cn+.ui/"^ " + • • ■ + a / - H{x, y) = 



bedeuten, dafs y eine ganze algebraische Funktion' von x. wäre, was gegen 

 die Voraussetzung streitet, dafa die Koeffizienten A^ . . . J^ der gegebenen 

 Gleichung nicht sämtlich Polynome sein sollten. 



Anmerkung: Man wird leicht einsehen, dafa die \'oraussetzung, data 

 die Koeffizienten rational sein sollen, durch die schwächere, dafà sie alge- 

 braische Zahlen sein sollen, die einem algebraischen Körper R angehören, 

 ersetzt werden kann. 



Es sei zuerst R ein Xormalkörper, L der Funktionenkörper, der aus 

 allen eindeutigen Funktionen von x besteht, die nach fallenden Potenzen 

 von ./■ mit rationalen Koeffizienten entwickelt werden können, und L[R] 

 der entsprechende Funktionenkörper, wenn die Koeffizienten zu R gehören. 

 Wenn f\{x,y) irreduktibel ist in L{R), so sind die konjugierten Funktionen 

 /"2 (.r, //),.. ., ffi{x,y), die auch alle Koeffizienten in R haben, irreduktibel 

 in L (R). Das Produkt f\ /0 . . . fu gehört jedenfalls zu L. Vielleicht ist 

 das schon mit dem Produkte einer kleineren Anzahl unter ihnen der Fall. 

 Es sei deshalb f\ ff" . . . = R{'', y) ein Produkt aus einer so kleinen Zahl 

 dieser Funktionen als möglich, so daß F{x,y) zu L gehört. Ist dann 

 i'\{''>ll) ein irreduktibler Faktor von F[x,y) in L, so mufs i-^ (./•, ^) das 

 Produkt von einigen der Faktoren /'1, /', f" . . . sein. Weil aber Fi eine 

 Funktion in L sein soll, und die Zahl der gewählten Faktoren /'1, /', /'", . . 

 so klein als möglich war, damit deren Produkt zu L gehören sollte, so 

 mufi Fl mit F identisch sein, d.h. F [r, y) ist irreduktibel in L. Aufaer- 

 dem kann keine ganze algebraische Funktion von x die Gleichungen 

 /2 [x, y) = 0, . . ., /'// [j'f y)^= befriedigen, wenn keine solche fi (.r, //) = 

 befriedigt. Deshalb kann auch keine solche F[x,y) —0 befriedigen. Nach 

 Satz 41 hat also die Gleichung i^(r, ?/) = blofà endlich viele Lösungen 

 in ganzen rationalen Zahlen. Dies mufe folglich auch mit jeder Faktor- 

 gleichung /1 [x, //) = usw. der Fall sein. 



1 Eine , ganze algebraische' Funktion soll eine Funktion y von x bedeuten, 

 welche eine Gleichung der Form 



befriedigt, worin fi... /n Polynome sind. 

 Vid -Selsk. Skrifier. I. .M.-N. Kl. 1921. .No. 17. 4; 



