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TH. SKOLEM. M.-N. KI. 



Ist aber lî kein Nürmalk<Jrper, so ist h' ^ (/•'], . . ., l>ii), wo /i', //^ .. . //« 

 die sämtlichen mit J\, konjugierten Korper bedeuten, ein Normalkörper. 

 Eine I'unktion /"(r, /y), die in /v (//) irreduktibel ist, zerfällt im Körper lAU), 

 der aus allen eindeutigen Funktionen besteht, welche nach fallenden ganzen 

 Potenzen von x mit Koeffizienten in 11 entwickelt werden können, in eine 

 gewisse Zahl (vielleicht nur eine) irreduktibler Funktionen /i . . . fr. Nun 

 wird natürlich /'(r, //) = bloß endlich viele Lösungen in ganzen Zahlen 

 haben, wenn dies für jede der Gleichungen f\{x,y) = ^, . . ., fv{x,y) = 

 der Fall ist. Da nach Voraussetzung keine ganze algebraische Funktion 

 die Gleichung f{x,y)=^0 befriedigen soll, so kann keine solche irgend 

 eine der Gleichungen /i (r, y) = {) . . . fr [x, //) = befriedigen. Da aber 

 /»' ein Normalkörper ist, folgt aus dem obigen, dafj die Gleichungen 

 j\ (x, y/) := . . . fr [x, y) = blofs endlich viele ganzzahlige Lösungen haben. 



Falls die Koeffizienten wohl algebraisch sind, aber nicht demselben 

 algebraischen Körper von endlichem Grade angehören, scheitert diese Zu- 

 rückführung auf Satz 4 1. Auch scheint es im allgemeinen nicht mehr 

 möglich mit Hilfe des im Beweise ebendiesen Satzes angewandten Flimi- 

 nationsverfahrens zum Ziele zu gelangen. Ob der Satz noch materiell 

 richtig bleibt, mag hier dahingestellt bleiben. 



Der Beweis mit Hilfe des Eliminationsverfahrens wird auch im allge- 

 meinen nicht mehr gelingen, falls die Koeffizienten nicht sämtlich algebraisch 

 sind. Denn kommt eine transcendente Zahl % vor in dem Ausdruck für 

 y^, so kommen in den Ausdrücken für //"^\ //"^', ••• nach und nach auch 

 höhere Potenzen von t vor, und diese lassen sich nicht linear mit ganzen 

 Koeffizienten durch eine endliche Anzahl unter ihnen ausdrücken. Die Zahl 

 der Eliminanden wächst also mit der Zahl der Gleichungen. In speziellen 

 F'ällen gelingt natürlich noch der Beweis. Ein einfaches Beispiel darauf ist 



II = (i ,/; -\- h -\- — A — S-{- • • -, a und b ganz rational, 

 ,/• X- 



wo die unendliche' Reihe für alle x absolut > R konvergiert. Es ist klar, 

 daß hier blofà endlich viele ganze rationale x existieren können, die so 

 beschaffen sind, daß zugleich // ganz rational wird, und dies ganz gleich- 

 gültig was für Zahlen ty, r.,, . ■ . sind, wenn sie nur nicht alle Null sind. 

 (Satz 8). 



Satz 42. Es sei die Gleichiuiy gegeben 



lüo Ai,... Ä^ nach fallenden ganzen Putemen von x mit rationalen 

 Koeffizienten entivickelt werden können, wobei diese Entwicklungen aber 

 hier bloß als Elemente mehrdeutiger Funktionen vorausgesetzt werden. 



