I92I.N0.I7. VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 5I 



Diesen Reihen haben dann einen gemeinsamen Konvergenzbereich x\^ M. 

 IVerden nur die Werfe von x innerhalb dieses Bereiches betrachtet ^kön- 

 nen 2vir die durch die n Reihen gegebenen Zweige der Funktionen fest- 

 halten. Werden diese Zweige festgehalten, so hat die Gleichung bloß 

 endlich viele Lösungen in ganzen rationalen Zahlen x und y, falls keine 

 game algebraische Funktion von x statt y eingesetzt die Gleichung 

 befriedigt. 



In der Tat wird der Beweis für Satz 41 Wort für Wort auch hier 

 gültig bleiben, wenn man bemerkt, dafa höchstens n reelle Zweige der 

 durch die Gleichung dargestellten Kurve existieren können, welche den 

 betreffenden festgehaltenen )i Zweigen der Koeffizientfunktionen .4 ent- 

 sprechen. 



Bedeutet L{A] der Funktionenkörper, der aus allen analytischen Funk- 

 tionen besteht, die rational durch eindeutige Funktionen, welche nach fallen- 

 den Potenzen von ./• mit rationalen Koeffizienten entwickelt werden können, 

 und die betrachteten Zweige der Funktionen Jj ... An ausgedrückt werden 

 können, so gilt auch innerhalb L [A] der Satz von der eindeutigen Dekom- 

 position reduktibler ganzer Funktionen von // in irreduktible. Damit keine 

 ganze algebraische Funktion der Gleichung Genüge leisten soll, wenn diese 

 als irreduktibcl vorausgesetzt wird, ist nun notwendig und hinreichend, 

 dafe mindestens eine der Funktionen A entweder mindestens eine nicht- 

 algebraische Verzweigungstelle hat oder eine Singularität im Endlichen, 

 die kein Verzweigungspunkt ist. Jede ganze algebraische Funktion befrie- 

 digt ja auch in L{A] eine irreduktible Gleichung, deren Koeffizienten eben- 

 solche Funktionen sind, und die übrigen Wurzeln sind also auch ganz- 

 algebraisch. Hat nun die gegebene Gleichung eine Wurzel y, die ganz- 

 algebraisch ist, so müssen alle Wurzeln solche sein und folglich auch die 

 Koeffizienten. Die erwähnte Bedingung ist also hinreichend; denn ist sie 

 erfüllt, sind die Funktionen .-li, . . ., An nicht alle ganz-algebraisch. Anderer- 

 seits ist die Bedingung notwendig; denn ist sie nicht erfüllt, sind A^, . ., An 

 alle ganz algebraisch und folglich auch alle Wurzeln g. 



Die \'oraussetzung in den Sätzen 41 und 42, daè die Funktionen Aj.{r) 

 Entwicklungen nach fallenden ganzen Potenzen von x besitzen, kann durch 

 die schwächere, dafe sie nach fallenden gebrochenen Potenzen entwickelt 

 werden können, ersetzt werden, wenn nur die Koeffizienten rational' sind. 

 Das rührt einfach davon her, daß eine Gleichung der Form 



f[x'',t/) = Q 



1 Oder allgemeiner einem algebraischen Körper li angehören. 



