52 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



nicht ciTüllt sein kann, ohne dafj gleichzeitig 



F {or, ,//) = /• (.r ", .//^ /■(. ,r", v) ■ • • /■('/' '■'■'■. //) 



erfüllt ist, wo e eine nrimitive it^f^ Wurzel der Einheit ist. Falls nun 



1 



m 1 



/^■'•"-//j=/r+^'l (■'•)//" ' + ••• + ^'rn (.'•), 



1 



wobei ^'r (./■) {>•-■=- \, ..., m) nach fallenden Potenzen von .r" mit Koeffi- 

 zienten in 7t.' entwickelt werden kann, wird augenscheinlich F{x,ij) eine 

 Funktion der Form 



worin ,lr('") (r = l,..., »m/) eine Entwicklung nach fallenden ganzen 

 Potenzen von x mit Koeffizienten in R hat. Aufserdem kann keine ganze 

 algebraische Funktion // von x der Gleichung F [x, !i) = Q Genüge leisten, 

 ohne dafa mindestens eine der Gleichungen 



f [x-, //j - 0, /• [e X-, //)= 0, . . ., /■ i^s^-'r-, //j ^ 

 dadurch befriedigt wird. Dafe aber eine ganze algebraische Funktion // 

 von æ die Gleichung /M ^''./''^ //i = befriedigt, ist damit gleichbedeutend, 



daß eine ganze algebraische Funktion von x die Gleichung M.2^",^]^0 

 befriedigte Wenn also umgekehrt keine ganze algebraische Funktion 



die Gleichung /'{.^■",//1 -==0 befriedigt, so gilt dasselbe für die Gleichung 



F{.r,t/) = 0. 



Da nun die letztere Gleichung nach den Sätzen 41 und 42 blofs end- 

 lich viele Lösungen in ganzen Zahlen x und // hat, mufs dies auch für die 

 erstere gelten. 



Ich gebe zuletzt einige weitere Bemerkungen zu den früher bewiese- 

 nen Sätzen. 



Es sei f{r) eine Reihe der Form 



(lox^'-i h ^'n-i æ + (Vn + --^- + • • • , 



1 Falls nämlich fis^x^, H (x)] = identisch ist, wobei H {r) ganz alge- 

 braisch ist, so ist, wenn x'^ = i gesetzt wird, auch //(£) = ^(£i^) eine 

 ganze algebraische P\mktion und folglich auch // [£~'' i). Es ist aber 

 /(s; ^'(«"^b)) ^0 eine Identität, weil /' (^i' ^^ //(|)) = es ist. 



